Pregunta sobre cómo encontrar las raíces de un polinomio y estudiar la naturaleza

Question

El número de raíces reales de la ecuación $1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{2}}{3}+\cdots+\frac{x^{7}}{7}=0$ (sin factorial) es

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Mi trabajo

Déjalo, $\mathrm{f}(\mathrm{x})=1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+\frac{x^{6}}{6}$

[ Sea, f tiene un mínimo en $x=x_{0},$ donde entonces $f^{\prime}\left(x_{0}\right)=0$ ]

$\Rightarrow 1+x_{0}+x_{0}^{2}+x_{0}^{3}+x_{0}^{4}+x_{0}^{5}=0$

$\Rightarrow \frac{x_{0}^{6}-1}{x_{0}-1}=0$

$\Rightarrow \frac{\left(x_{0}^{3}-1\right)\left(x_{0}^{3}+1\right)}{x_{0}-1}=0$

$\Rightarrow\left(x_{0}^{2}+x_{0}+1\right)\left(x_{0}^{2}-x_{0}+1\right)\left(x_{0}+1\right)=0$

Que tiene una raíz real $x_{0}=-1$

Pero, $f(-1)=1-1+\left(\frac{1}{2}-\frac{1}{3}\right)+\left(\frac{1}{4}-\frac{1}{5}\right)+\frac{1}{6}>0$

El $f(x)>0$ y por lo tanto $f$ no tiene ceros reales. Ahora dejemos, $g(x)=1+\frac{x}{1}+\frac{x^{2}}{2}+\frac{x^{3}}{3}+\cdots+\frac{x^{7}}{7}$

Un polinomio de grado impar tiene al menos una raíz real. Si nuestro polinomio g tiene más de un cero, digamos $x_{1}, x_{2}$

Entonces por el teorema de Role en $\left(x_{1}, x_{2}\right)$ tenemos $^{\prime} x_{3}$ ' tal que $\mathrm{g}^{\prime}\left(x_{3}\right)=0$

$\Rightarrow 1+x_{3}+x_{3}^{2}+\cdots+x_{3}^{6}=0$

Pero éste no tiene ceros reales. Por lo tanto, el polinomio dado tiene exactamente un cero real.

corrígeme si me equivoco

Answer 1

Definir $$f(x)=1+\sum_{n=1}^7 \frac{x^n}{n}$$ para ser la función dada. Entonces tenemos \begin{align} f'(x) &=\sum_{n=1}^7x^{n-1}\\ &=\cases{\frac{x^7-1}{x-1}&$x\ne1$\\7&$x=1$}\\ \end{align} Pero $x^7=1$ tiene una única raíz real, a saber $x=1$ porque su derivado es $7x^6\ge0$ . Así, $f'(x)$ no tiene raíces reales. Así que $f(x)$ es estrictamente creciente y, por tanto, tiene como máximo una raíz real. Utilizando el hecho de que $f(x)\sim x^7/7$ para $|x|\to\infty$ podemos concluir que $f(x)$ tiene exactamente una raíz real (debe producirse un cambio de signo).