¿Cómo se integra la ecuación de Boltzmann para los neutrinos?

Question

En Neutrinos estériles como materia oscura se nos da la ecuación de Boltzmann para los neutrinos

$$\left( \frac{\partial}{\partial t} - HE \frac{\partial}{\partial E}\right) f_s (E,t) = \left[ \frac{1}{2} \sin ^2 2\theta (E,t) \Gamma (E,t) \right] f_a (E,t) \tag{2}$$

• $f_s$ y $f_a$ son las funciones de distribución de los neutrinos estériles y activos.
• $f_a = \left( e^{E/T}+ 1\right)^{-1} \approx \left( e^{p/T}+1\right)^{-1}$
• $\Gamma (E,t)$ es la tasa de producción de dispersión de $\nu_s$ a través de un canal determinado

y se afirma que, al cambiar la variable de tiempo de $t$ a $a$ ( el factor de escala de Robertson-Walker) e integrando $(2)$ sobre los momentos encontramos que:

$$\frac{dr}{d \ln(a)}= \frac{\gamma}{H}+ r \frac{d \ln(g*)}{d \ln(a)} \tag{4}$$

• $\gamma = \displaystyle \frac{1}{n_a} \int \frac{d^3 p}{(2\pi)^3} \sin^2 2\theta (p,T) \Gamma (p,T) \frac{1}{e^{p/T}+1}$
• $ \displaystyle n_i 2 \int \frac{d ^3p}{(2) ^3}f_i$ es la densidad numérica de neutrinos estériles (activos) con $i = s,a $
• $g^a^3T^3= constant$
• $H = \displaystyle \frac{\dot{a}}{a}$ y $r= \displaystyle\frac{n_s}{n_a}$

¿Cómo puedo integrar $(2)$ para conseguir $(4)$ ? Sé que $g^*$ viene de la ley de conservación de la entropía pero no entiendo por qué se saca a colación en el artículo o cómo ayuda a esta integración y esto no se explica en el artículo.

Creo que en este caso, puedo considerar $E\approx p$ ya que la masa es despreciable (como se hace en la función de distribución para los neutrinos activos, arriba) y por eso creo que puedo reescribir $(2)$ como

$$\left( \frac{\partial}{\partial t} - Hp \frac{\partial}{\partial p}\right) f_s (E,t) = \left[ \frac{1}{2} \sin ^2 2\theta (p,t) \Gamma (p,t) \right] f_a (p,t) \tag{2}$$

Producción de Dodelson-Widrow de materia oscura de neutrinos estériles con abundancia inicial no trivial hace algo similar, pero con la ecuación escrita de forma ligeramente diferente. Pero sigo sin entender cómo se hace la integración.

Answer 1

Sólo para resumir todos los comentarios que hice arriba: Cuando se integra una ecuación de Boltzmann (generalmente llamada tomar momentos ) entonces simplemente se multiplica toda la ecuación por $\frac{d^3\vec{p}}{(2\pi)^3}$ e integrar sobre todo $\vec{p}$ . La mayoría de los términos que se obtienen pueden expresarse en términos de cantidades macroscópicas bien conocidas (densidad numérica $n\propto \int fd^3p$ densidad de energía $\rho\propto \int Efd^3p$ etc.) y sus derivadas. En tu caso el primer término es $$\int \frac{\partial f_s}{\partial t}\frac{d^3\vec{p}}{(2\pi)^3} = \frac{\partial}{\partial t}\int f_s\frac{d^3\vec{p}}{(2\pi)^3} \equiv \frac{1}{2}\frac{\partial n_s}{\partial t}$$ ya que sólo $f_s$ en el integrando depende del tiempo podemos sacar la derivada. El lado derecho integrado, por definición de $\gamma$ simplemente se convierte en $\frac{\gamma n_a}{2}$ . El único término que no es automático es el término

$$-\int HE\frac{\partial f_s}{\partial E}\frac{d^3\vec{p}}{(2\pi)^3}$$

Cuando veas una derivada de momento de la función de distribución en una integral, tu primer pensamiento debería ser deshacerte de esa derivada usando la integración por partes. Para ello utiliza que $\frac{d}{dE} = \frac{E}{p}\frac{d}{dp}$ (ya que $E^2 = p^2 + m^2$ ) y aquí podemos aplicar la aproximación relativista $T\gg m$ así que $E\approx p$ (la función de distribución es prácticamente nula en la región donde esto no se cumple, por lo que está bien utilizar esta aproximación en toda la integral). En el límite no relativista, si lo necesitas, puedes hacer una aproximación similar: $E\approx m$ .

A continuación, cambiar a coordenadas esféricas $d^3\vec{p} = d\cos\theta_{\vec{p}} d\phi_{\vec{p}} dp$ . En este caso se simplifica ya que $f$ se supone que sólo depende de $p$ y no las direcciones, por lo que podemos sustituir simplemente $d^3\vec{p}$ por $4\pi p^2 dp$ . Entonces

$$-\int HE\frac{\partial f_s}{\partial E}\frac{d^3\vec{p}}{(2\pi)^3} \simeq -\int 4\pi Hp^3\frac{\partial f_s}{\partial p}\frac{dp}{(2\pi)^3} = +\int 4\pi H\cdot 3p^2f_s\frac{dp}{(2\pi)^3} \equiv \frac{3Hn_s}{2}$$ donde hemos utilizado la integración por partes y descartado el término de frontera en el infinito y en la última integral hemos utilizado la definición de $n_s$ (utilizando $d^3\vec{p} \leftrightarrow 4\pi p^2 dp$ al revés).

El resto es simplemente manipular la ecuación a la forma deseada (utilizando relaciones conocidas entre $n_a$ , $T$ , $a$ y $g_*$ ). Si busca un libro de texto que explique todas estas cosas en términos sencillos, consulte Dodelson "Modern Cosmology" (que casualmente está escrito por uno de los autores de ese trabajo).