¿Confusión sobre la prueba dada de que el proceso de Poisson compensado es una Martingala?

Question

Dada la siguiente prueba de que el proceso de Poisson compensado es una Martingala

¿Por qué la prueba comienza con $E[N(t)-\lambda t|N(s)]$ cuando la pregunta pide demostrar que $X(t)$ ¿es una martingala? ¿No debería comenzar con $E[N(t)-\lambda t|N(s)-\lambda s]$ ?

Veo que la solución muestra que cuando se introduce la 2ª línea de la solución en el lado izquierdo de $E[N(s)|N(t)]-\lambda t$ obtendrá $N(s)-\lambda s$ lo que equivale a $X(s)$ pero todavía estoy confundido en cuanto a por qué la prueba comienza con, esencialmente, $E[X(t)|X(s)+\lambda s]$ para probar la Martingala cuando la definición dada parece implicar que se debe comenzar con $E[X(t)|X(s)]$ y luego tratar de llegar a una respuesta final de $X(s)$

Answer 1

Acondicionamiento en $X(s)+\lambda s$ es lo mismo que condicionar a $X(s)$ desde $\lambda s$ no es al azar. No conozco tu formación en teoría de la probabilidad, pero en una explicación elemental, la información $X(s)+\lambda s$ y $X(s)$ llevar es exactamente la misma ya que las dos difieren por una cantidad determinista, por lo que conociendo una se puede recuperar la otra. En términos de probabilidad teórica, los campos sigma generados por los dos son exactamente iguales.