Es que $\frac{p}{2-p}(n-1)^{(p-2)/p} \leq Cy^{p-2}$ , $p \in (1,2), y \in [(n-1)^{1/p}, n^{1/p}]$ ?

Question

Encontré esta relación en un libro de probabilidad (Durrett, "Probability: Theory and examples", 4ª edición; Teorema 2.5.8), aunque se trata de un simple cálculo:

$$\sum_{m=n}^\infty m^{-2/p} \leq \frac{p}{2-p}(n-1)^{(p-2)/p} \leq Cy^{p-2},$$

donde $y \in [(n-1)^{1/p}, n^{1/p}]$ . Aquí, $p \in (1,2)$ .

La primera desigualdad proviene de comparar la suma con una integral ( $\sum_{m=n}^\infty m^{-2/p} \leq \int_{n-1}^\infty x^{-2/p}$ ), entiendo esa parte. Pero si $y \in [(n-1)^{1/p}, n^{1/p}]$ y ser $f(x) = x^{p-2}$ disminuyendo, ¿no es el caso que $\frac{p}{2-p}(n-1)^{(p-2)/p} \geq Cy^{p-2}$ ? Estoy asumiendo que $C$ no depende de $n$ .

Siento hacer una pregunta tan elemental, pero he pasado un rato atascado en esa segunda desigualdad y no encuentro lo que está mal en mi razonamiento.

Answer 1

Su pregunta: ¿Existe $C > 0$ tal que $$\forall\,y \in [(n-1)^{1/p}, n^{1/p}], \frac{p}{2-p}(n-1)^{(p-2)/p} \leq Cy^{p-2}?$$

Para facilitar las cosas, movamos $y^{p-2}$ al LHS, de modo que cada cantidad en la desigualdad está en la forma de $\pm\underbrace{(\dots)}_{\text{positive}}$ .

$$\frac{p}{2-p} \frac{(n-1)^{-(2-p)/p}}{y^{-(2-p)}} = \frac{p}{2-p} \frac{y^{2-p}}{(n-1)^{(2-p)/p}} \le \frac{p}{2-p} \underbrace{\frac{n^{(2-p)/p}}{(n-1)^{(2-p)/p}}}_{\to 1}$$

Como la secuencia convergente está acotada, basta con tomar $C$ sea cualquier número mayor o igual a $\sup_n (n/(n-1))^{(2-p)/p}$ .