Definiciones de $\mathrm{Hom}(V,W)$

Question

Tengo la definición de un homomorfismo como mapa tal que $\varphi(g_1g_2)=\varphi(g_1)\varphi(g_2)$

Tengo la definición de $\mathrm{Hom}(V,W)$ como

$$\begin{align}\mathrm{Hom}(V,W) &= \{\mathbb{C}-\text{linear maps }\varphi:V \rightarrow W \} \\ &\cong \{n \times m \text{ matrices } \} \end{align}$$

Hace $\mathrm{Hom}$ significa homomorfismo porque no puedo ver cómo se relaciona con la definición de homomorfismo

Tengo la definición de $\mathrm{Hom}_G$ como

$$\begin{align}\mathrm{Hom}_G(V,W) &= \{\varphi \in \mathrm{Hom}(V,W) \mid g\varphi(v)=\varphi(gv), \forall g \in G, \forall v \in V\} \\ &=\{\varphi \in \mathrm{Hom}(V,W) \mid \rho(g)\cdot\varphi(v)=\varphi(\rho(g)v) , \forall g \in G, \forall v \in V\} \end{align}$$

Entonces me surge la pregunta:

Demostrar que si $\rho$ es una representación irreducible, entonces para un elemento $g \in G$

$$g \in Z(G) \iff \rho(g)=\lambda I$$

En la solución tengo eso:

$(``\implies")$ Si $g \in Z(G)$ entonces $gh=hg \ \forall h \in G$ . Por definición de $\mathrm{Hom}_G$ esto significa que $\rho(g) \in \mathrm{Hom}_G(V,V)$ . Pero \rho es irreducible por lo que $\mathrm{Hom}_G(V,V)$ consiste en matrices escalares por el lema de Schur.

No entiendo cómo "Por definición de $\mathrm{Hom}_G$ esto significa que $\rho(g) \in \mathrm{Hom}_G(V,V)$ . " ¿Cómo es esta la definición de $\mathrm{Hom}_G$ ? No veo por qué esto es equivalente.

Answer 1

La palabra homomorfismo se utiliza generalmente para significar "un mapa que preserva la estructura del objeto que estoy mirando". Por tanto, la definición precisa es diferente para los grupos, los espacios vectoriales, las representaciones de grupos, etc., aunque utilicemos la misma palabra.

Para su segunda pregunta, suponga que $g$ es un elemento del centro de $G$ y que $\varphi = \rho(g)$ . Sea $h$ sea un elemento de $G$ . Desde $g$ está en el centro, tenemos $gh=hg$ Así que $\rho(g)\cdot \rho(h) = \rho(h)\cdot\rho(g)$ . Según nuestra notación, esto puede escribirse como $\rho(h)\cdot\varphi = \varphi\cdot\rho(h)$ En otras palabras, para cualquier $v\in V$ tenemos que $\rho(h)\cdot\varphi(v) = \varphi(\rho(h)(v))$ . Por definición de $\mathrm{Hom}_G$ Esto significa que $\varphi\in \mathrm{Hom}_G(V,V)$ . Desde $\varphi=\rho(g)$ Esto responde a su pregunta.