Convexidad de la función matricial (norma del operador del producto de Schur)

Question

Tengo una función definida como

$$ \mathbf{f(X)} = \min_{~~~~U,V\\\mathbf{X = UV'}} \max_i \mathbf{\|U_i\|} \max_i \mathbf{\|V_i\|} \\ \text{where } \mathbf{U_i} ~\text{and}~ \mathbf{V_i} ~ \text{are row vectors and } \|\cdot\| ~\text{is the}~ \ell_2 ~\text{norm} $$ $\mathbf{X}$ es una matriz real rectangular de dimensión $m \times n$ .

¿Cómo puedo demostrar que la función es convexa?

Según la papel , esta cantidad es el óptimo de la norma del operador del producto de Schur de una matriz: $f(A) = \max_{X :\|X\|=1} \|A \circ X\|$ .

Answer 1

Utilizando la descripción equivalente que ha mencionado, es más fácil demostrar que $f$ es convexo.

Para un fijo $X$ la función $$ g_X(A) = \| A \circ X \| $$ es convexo, porque $A\mapsto A\circ X$ es lineal y las normas son convexas.

Entonces, $$ f(A) = \sup_{X:\|X\|=1} g_X(A) $$ significa que $f$ es el sumo de las funciones convexas y, por tanto, convexo en sí mismo.