Demostrar que $p^2$ es el ideal principal $(2)$ .

Question

Dejemos que $p$ sea el ideal $\{2a+(1+\sqrt{-5})b|a,b\in\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]\}$ en $\mathbb{Z}[\sqrt{-5}]$ . Demostrar que $p^2$ es el ideal principal $(2)$ .

Intenté multiplicar el ideal por sí mismo y traté de simplificar para ver si podía relacionarlo con el ideal principal $(2)$ pero parece que no puedo conseguirlo. Esto es lo que tengo hasta ahora.

$(2a+(1+\sqrt{-5})b)^2=4a^2+4(1+\sqrt{-5})ab+(1+\sqrt{-5})^2b^2$

$=4a^2+(4+4\sqrt{-5})ab+(2\sqrt{-5}-4)b^2$

$=2(2a^2+(2+2\sqrt{-5})ab+(\sqrt{-5}-2)b^2)$

Si $x\in p^2$ entonces $x$ es un múltiplo de $2$ Así que $x\in(2)$ . Así, $p^2\subseteq (2)$ .

No estoy seguro de cómo mostrar que $(2)\subseteq p^2$

Answer 1

Este es otro enfoque:
Para multiplicar dos ideales, digamos $I=(a_1,a_2,\cdots,a_m)$ y $J=(b_1,\cdots,b_n)$ donde lo que hay en cada par de paréntesis es una lista de generadores del ideal, lo único que hay que hacer es escribir los productos $a_ib_j$ , todos ellos, y ver qué ideal ils generar.

En el presente caso, lo hacemos: \begin{align} \left(2,1+\sqrt{-5}\,\right)\left(2,1+\sqrt{-5}\,\right)&=\left(4,2+2\sqrt{-5},-4+2\sqrt{-5}\,\right)\\ &=\left(4,2+2\sqrt{-5},2\sqrt{-5}\,\right)\\ &=\left(4,2,2\sqrt{-5}\,\right)\\ &=\left(2,2\sqrt{-5}\,\right)=(2) \end{align} Observa que cada simplificación es reversible: puedes ir de izquierda a derecha, como está escrito, pero también de derecha a izquierda.

Answer 2

Llamemos a este ideal $\mathfrak{p}$ . Tenga en cuenta que $2 \in \mathfrak{p}^2$ ya que $$ 2 = (1+\sqrt{-5})(1 - \sqrt{-5}) \ - \ 2\cdot2. $$ Por otro lado, si $m \in \mathfrak{p}^2$ entonces $m$ es una suma de términos de la forma \begin{align} (2a + (1 + \sqrt{-5})b)&(2a'+(1+\sqrt{-5})b') = \\ & 4aa' + 2ab' + 2a'b + bb' - 5bb' + \bigg(2ab' + 2a'b + bb'+bb'\bigg)\sqrt{-5}. \end{align} y todo es divisible por $2$ cuando agrupamos términos similares.

Esta es una prueba un poco milagrosa; se puede rehacer conceptualmente observando que $\mathfrak{p}$ es el ideal de todos los elementos de la forma $c + d\sqrt{-5}$ donde $c$ y $d$ tienen la misma paridad.