¿Existe una axiomatización matemática del tiempo (aparte, quizás, de la entropía)?

Question

Desde la axiomatización del espacio de Euclides, hemos desarrollado un sofisticado modelo matemático del espacio. Dada una categoría de estructuras (medidas), el espacio local es el modelo del espectro de medidas que estas estructuras pueden realizar. El espacio global se interpreta como parches conectados a través del transporte, que identifica las medidas a través de los parches.

Me preocupa no haber encontrado ninguna axiomatización del tiempo. Asumiendo que las matemáticas son a priori ciencia, las grandes variedades de teorías del espacio en la física pueden atribuirse a nuestro sofisticado modelo matemático del espacio. Existe la relatividad, la teoría de cuerdas, la teoría cuántica y la teoría M.

Quizás el lector pueda objetar que estas teorías son teorías del espacio-tiempo, más que teorías del espacio. Sin embargo, quiero señalar que en estas teorías, el tiempo se trata esencialmente de la misma manera que el espacio. En la física clásica, el tiempo no es más que otra dimensión del espacio. En la relatividad, el tiempo se distingue del tiempo por la signatura (3,1), pero ésta no es más que una métrica. La geometría riemanniana sigue considerándose una teoría del espacio más que una teoría del tiempo.

Me pregunto, entonces, si usted ha encontrado es una axiomatización matemática del tiempo, que trata el tiempo de una manera no que no es inherentemente espacial? Asumiendo una vez más que las matemáticas son a priori ciencia, tal vez una axiomatización de este tipo pueda conducir a avances en la física y las finanzas.

Por último, hay una teoría física que creo que se acerca a un modelo de tiempo. Se trata de la entropía. Al igual que el espacio es dual con las medidas, podemos pensar en el tiempo como dual con la entropía. Dado que la entropía puede definirse mediante la combinatoria y la probabilidad, podría considerarse una teoría matemática.

EDIT: Steve mencionó que tal vez se pueda ver la entropía como una teoría del tiempo a través de la Hipótesis del Tiempo Térmico. Aparte de la entropía, ¿hay otras axiomatizaciones del tiempo?

OTRA EDICIÓN: En las respuestas dadas a continuación, la mayoría de los modelos de tiempo son arquimédicos. Me pregunto si estos modelos pueden ser modificados para permitir una conceptualización cíclica del tiempo. Muchas culturas antiguas, por ejemplo de la India, consideran que el tiempo es cíclico y no arquimédico. ¿Debo plantear esto como una pregunta aparte?

Pienso en esta dicotomía cíclica/arquimédica como algo parecido a la geometría euclidiana/no euclidiana.

Answer 1

Un poco tangencial, pero me sorprende que nadie haya mencionado el tiempo en la relatividad general (Ken Knox habló de la relatividad especial, pero el caso en la relatividad general es sutilmente diferente). Aquí se discute la relatividad desde una perspectiva más cercana a la de un físico, ya que es un poco más elemental (y por lo tanto más fácil de entender) en mi opinión. Como se comenta al final, la relatividad en general es algo incompatible con la mecánica estadística, al menos bajo las aproximaciones estándar, por lo que seguramente no es lo que buscas, pero puede ser de utilidad para alguien.

En la RG, el espacio-tiempo es un 4-manifold que está dotado de una métrica lorentziana $g_{ab}$ que es un tensor covariante de rango 2. El producto escalar de dos vectores $V$ y $W$ es entonces $g_{ab}V^aW^b$ a partir de la cual podemos calcular cosas como en la relatividad especial (donde la métrica es $\eta_{ab}$ que es $0$ si $a \ne b$ , -1 si $a=b$ y $x^a$ es una coordenada espacial (es decir, x,y,z), y 1 si $a=b$ y $x^a=t$ es la coordenada temporal).

Si un vector (campo) V satisface $g_{ab}V^aV^b >0$ La llamamos "tiempo", y de forma similar para las trayectorias basadas en sus vectores tangentes. Estas son las trayectorias posibles para las partículas con masa positiva. Cualquier trayectoria similar al tiempo corresponde, en el límite de baja masa y baja velocidad, a un marco de referencia local en el que es el "tiempo", y si la trayectoria es una geodésica entonces el marco es inercial. Las partículas con masa 0 (es decir, la luz) tienen trayectorias nulas, con $g_{ab}V^aV^b =0$ . Si $g_{ab}V^aV^b <0$ el vector es espacial. Las partículas sin fuerzas (aparte de la gravedad) que actúan sobre ellas viajan en geodésicas. La trayectoria de una partícula masiva se llama su línea del mundo. Las convenciones de signos aquí son a menudo invertidas, por lo que se recomienda tener cuidado. Para una trayectoria similar al tiempo, podemos calcular su longitud mediante $ds^2 = g_{ab} x^a x^b$ , donde $x$ son sus coordenadas.

Para cualquier observador, se observa a sí mismo como inmóvil, y viajando hacia adelante en el tiempo con velocidad unitaria. El tiempo para ese observador corresponde exactamente a la longitud de su trayectoria. Ese observador puede incluso establecer un conjunto local de coordenadas en el que la métrica es aproximadamente $\eta_{ab}$ siempre que todas las masas estén lo suficientemente alejadas. Localmente, entonces, el tiempo se comporta como en la relatividad especial. La gran diferencia entre la relatividad especial y la general es que esta última no tiene marcos de referencia inerciales en general, por lo que los observadores sólo pueden medir los tiempos en su propia ubicación.

Para resumir, el tiempo es otra coordenada en el espacio-tiempo, igual que el espacio, pero no es universal (depende del observador), y las únicas restricciones reales que tiene es que debe ser la parte de la métrica que tiene firma positiva (en el sentido anterior).

Dado que esto fue sin duda inútil para explicar la diferencia entre el tiempo en la relatividad especial y general, recomiendo el libro de Hughston & Tod Introducción a la relatividad general . Es una lectura bastante ligera y tiene una introducción a la relatividad especial, pero es lo suficientemente rigurosa como para que la lean los matemáticos. Existen otros libros de mayor nivel, de los cuales Hawking y Ellis, Wald y Misner, Thorne y Wheeler son buenas referencias.

Sin embargo, si se busca una formulación en la que la segunda ley de la termodinámica sea demostrable, o incluso en la que se defina la entropía, la relatividad es el lugar equivocado donde buscar. Incluso en la relatividad especial, conceptos como el equilibrio térmico dependen de un marco de referencia concreto, por lo que la entropía puede definirse en un marco inercial pero no en otro. Históricamente ha habido un gran debate sobre cómo la temperatura (que es el conjugado termodinámico de la entropía) debería transformarse bajo las transformaciones de Lorentz, y todavía no está totalmente resuelto.

Answer 2

Los enfoques interesantes son conjuntos casuales junto con relación de causalidad . Existen modelos físicos de gravedad cuántica basados en este enfoque, por ejemplo triangulaciones dinámicas casuales inventado por Renate Loll, Jan Ambjørn y Jerzy Jurkiewicz. En estas teorías, el tiempo es un orden definido por la causalidad de los acontecimientos, que es la noción básica, y la estructura del espacio-tiempo se deriva de ella de forma dinámica.

Answer 3

Existen varios sistemas axiomáticos de lógica temporal (también conocida como lógica tensa). Puede encontrar más, por ejemplo, en el capítulo de Hodkinson y Reynold en el Handbook of Modal Logic, en esta introducción por Venema, o, desde un punto de vista más filosófico, en SEP .

Answer 4

He evitado responder a esta pregunta, ya que creo que la axiomatización del tiempo es una actividad bastante infructuosa. Pero, como nadie más lo ha mencionado, me siento, por desgracia, obligado a publicar esta respuesta.

El enfoque axiomático de la teoría cuántica de campos topológica [ Blanchet y Turaev ] define un teoría cuántica de campos topológicos ,

Definición ( TQFT ): A $(n + 1)$ -TQFT de dimensiones $(V,\tau)$ sobre un campo escalar $k$ asigna a cada uno de los cerrados orientado $n$ -de las dimensiones de la colmena $X$ un espacio vectorial de dimensión finita $V(X)$ en $k$ y asigna a cada cobordisimo $(M,X,Y)$ a $k$ -mapa lineal $\tau(M) = \tau(M,X,Y ):V(X) \rightarrow V(Y )$ .

Además, el enfoque axiomático de la teoría cuántica de campos topológicos contiene la axioma de normalización ,

Axioma ( Axioma de normalización ): Para cualquier variedad n-dimensional $X$ el mapa lineal $\tau([0, 1] \times X) : V(X) \rightarrow V(X)$ es la identidad.

Este axioma de normalización es una axiomatización del tiempo como ocurre en cualquier teoría invariante de difeomorfismo.

Más detalladamente, cualquier teoría que sea invariante respecto a los difeomorfismos es, en particular, invariante respecto a los difeomorfismos en la dirección del tiempo $t'(t)$ . El generador de la evolución temporal es el Hamiltoniano $H$ . Así, cualquier estado del espacio de Hilbert es invariante bajo la acción del hamiltoniano $H$ . Este es el contenido exacto del axioma de normalización .

Answer 5

Una vez más, no se trata sólo del tiempo, sino más bien del espacio-tiempo, pero muy diferente de los otros enfoques mencionados:

Los lógicos húngaros Andreka, Madarasz, Nemeti, Toke y Sain han explorado realmente las posibilidades de tratar el espacio-tiempo y la relatividad en términos de teoría de modelos, por lo que realmente dan axiomatizaciones en el sentido técnico y no sólo modelos matemáticos. Ver los preprints en esta página aquí que incluyen también un estudio de las axiomatizaciones anteriores del espacio-tiempo.