¿Existe una axiomatización matemática del tiempo (aparte, quizás, de la entropía)?

Question

Desde la axiomatización del espacio de Euclides, hemos desarrollado un sofisticado modelo matemático del espacio. Dada una categoría de estructuras (medidas), el espacio local es el modelo del espectro de medidas que estas estructuras pueden realizar. El espacio global se interpreta como parches conectados a través del transporte, que identifica las medidas a través de los parches.

Me preocupa no haber encontrado ninguna axiomatización del tiempo. Asumiendo que las matemáticas son a priori ciencia, las grandes variedades de teorías del espacio en la física pueden atribuirse a nuestro sofisticado modelo matemático del espacio. Existe la relatividad, la teoría de cuerdas, la teoría cuántica y la teoría M.

Quizás el lector pueda objetar que estas teorías son teorías del espacio-tiempo, más que teorías del espacio. Sin embargo, quiero señalar que en estas teorías, el tiempo se trata esencialmente de la misma manera que el espacio. En la física clásica, el tiempo no es más que otra dimensión del espacio. En la relatividad, el tiempo se distingue del tiempo por la signatura (3,1), pero ésta no es más que una métrica. La geometría riemanniana sigue considerándose una teoría del espacio más que una teoría del tiempo.

Me pregunto, entonces, si usted ha encontrado es una axiomatización matemática del tiempo, que trata el tiempo de una manera no que no es inherentemente espacial? Asumiendo una vez más que las matemáticas son a priori ciencia, tal vez una axiomatización de este tipo pueda conducir a avances en la física y las finanzas.

Por último, hay una teoría física que creo que se acerca a un modelo de tiempo. Se trata de la entropía. Al igual que el espacio es dual con las medidas, podemos pensar en el tiempo como dual con la entropía. Dado que la entropía puede definirse mediante la combinatoria y la probabilidad, podría considerarse una teoría matemática.

EDIT: Steve mencionó que tal vez se pueda ver la entropía como una teoría del tiempo a través de la Hipótesis del Tiempo Térmico. Aparte de la entropía, ¿hay otras axiomatizaciones del tiempo?

OTRA EDICIÓN: En las respuestas dadas a continuación, la mayoría de los modelos de tiempo son arquimédicos. Me pregunto si estos modelos pueden ser modificados para permitir una conceptualización cíclica del tiempo. Muchas culturas antiguas, por ejemplo de la India, consideran que el tiempo es cíclico y no arquimédico. ¿Debo plantear esto como una pregunta aparte?

Pienso en esta dicotomía cíclica/arquimédica como algo parecido a la geometría euclidiana/no euclidiana.

Answer 1

En probabilidad, el tiempo se suele manejar como una secuencia anidada de $\sigma$ -(digamos $B_t$ con $B_t \subset B_s$ si $t\leq s$ ), y para encontrar la realidad (llamar a la realidad $f$ e incluye el estado en todo momento pasado y futuro) en el momento $t$ se toma la expectativa condicional $f_t := E[f | B_t ]$ . La secuencia $(f_t)$ es entonces una martingala (una martingala uniformemente integrable, más precisamente), y esta construcción es la esencia de lo que es el gran problema de las martingalas.

El movimiento browniano es una martingala de la que probablemente hayas oído hablar, pero ésta también se ocupa de situaciones más sencillas. Por ejemplo, considere el experimento: lance una moneda repetidamente, y lleve la cuenta de cuántas caras ha lanzado, menos cuántas colas. Podemos capturar este experimento de la siguiente manera: Para $0\leq x <1$ , dejemos que $f_n(x)$ sea el número de 1's menos el número de 0's entre los primeros $n$ dígitos de la expansión binaria de $x$ y que $B_n$ sea el $\sigma$ -(en este caso, un álgebra booleana) generada por los intervalos $[i/2^n,(i+1)/2^n)$ . Entonces $f_n$ es $B_n$ -medible, y $E[f_t | B_s]=f_s$ para cualquier número natural $s < t$ y la secuencia $(f_n)_{n=1}^\infty$ es una martingala (aunque diferente del tipo mencionado anteriormente). Si quiere jugar cualquier juego justo en los "lanzamientos de moneda" a medida que surgen (permitiendo el uso del conocimiento de todos los lanzamientos anteriores en el tiempo), entonces su fortuna en el tiempo $t$ sigue siendo una martingala.

En otras palabras, el paso del tiempo se capta como una función no condicionada.

Para una introducción práctica a las martingalas, recomiendo "Probabilidad con martingalas" de Williams. Es una maravilla de escrito, y en mi humilde opinión debería tomarse como modelo de cómo escribir una monografía.

Answer 2

El hipótesis del tiempo térmico (TTH) de Connes y Rovelli podría ser el tipo de cosa que está buscando.

A modo de antecedente, dejemos que $\mathcal{H}$ sea un hamiltoniano. La matriz de densidad térmica es $\omega = Z^{-1}\mbox{Tr}(e^{-\beta \mathcal{H}})$ y la evolución temporal de un observable $A$ viene dada, como es habitual, por $e^{i\mathcal{H}t/\hbar} A e^{-i\mathcal{H}t/\hbar}$ . Ahora el grupo modular de un parámetro de $\omega$ que aparece en la teoría Tomita-Takesaki de las álgebras de von Neumann puede demostrarse que coincide con el grupo de evolución temporal: si $s$ es el parámetro modular y $t$ es el tiempo físico, entonces $t = \hbar \beta s$ . En particular, $s$ no depende de $\beta$ .

La TTH afirma que el tiempo físico está determinado por el grupo modular, que a su vez está determinado por el estado. Además de implicar la mecánica hamiltoniana, la TTH invierte y generaliza simultáneamente la condición de Kubo-Martin-Schwinger y, por tanto, también la relación de Gibbs, en la que la temperatura proporciona el vínculo físico entre la evolución del tiempo y los equilibrios.

Algunas referencias relevantes:

A. Connes y C. Rovelli, Clase. Quant. Grav. 11 , 2899 (1994)

P. Martinetti y C. Rovelli, Clase. Quant. Grav. 20 , 4919 (2003)

Y. Tian, JHEP06 , 045 (2005)

C. Rovelli y M. Smerlak, arxiv:1005.2985

Answer 3

Este es un comentario extenso:

Voy a argumentar que no es tan fácil descartar la teoría de la relatividad como una descripción razonable del tiempo sólo porque la geometría lorentziana sea superficialmente similar a la geometría riemanniana.

Consideremos la relatividad especial como un análogo de la geometría euclidiana. En términos de una teoría axiomática basada en a priori observaciones físicas, se puede pensar que la relatividad especial proviene de dos "axiomas" físicos

1) La luz se propaga en el vacío y, por tanto, tiene una velocidad constante respecto a un marco de referencia inercial arbitrario.

2) La mayoría de las leyes físicas deben transformarse covariantemente.

En base a esto, se puede escribir el grupo de transformaciones entre marcos de referencia inerciales, y luego observar que éste es el grupo de isometría (lineal) de la métrica

$\eta = -dt^2 + dx^2 + dy^2 + dz^2$

Evidentemente, el espacio y el tiempo interactúan entre sí, sólo por la forma ingenua en que percibimos nuestra existencia. Así que una forma de plantear la pregunta es: ¿qué otros axiomas tenemos que añadir a la geometría euclidiana para poder añadir con precisión una dimensión temporal? ¿Es posible la idea de un espacio-tiempo unificado? Así que un aspecto brillante de la RS es que realmente no hay que pensar en el espacio y el tiempo como entidades separadas, con esquemas de axiomas separados, al menos en este sentido clásico. Puedes simplemente incluir de alguna manera 1) y 2) a la geometría euclidiana, y con retrospectiva obtener el espacio $(\mathbb{R}^{1,3}, \eta)$ . Ahora no tenemos que pensar en esto como un objeto geométrico estático. De hecho el laplaciano se convierte en la ecuación de onda, es decir

$\Delta_{\eta} \psi = 0 $

se convierte en

$\frac{\partial^2 \psi}{\partial t^2} = \frac{\partial^2 \psi}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 \psi}{\partial z^2}$

Así que, en particular, el carácter causal está incorporado en la geometría, y además esto proviene de una descripción más o menos axiomática. La forma en que el tiempo se incorpora a la geometría está "oculta" en el sentido de que no hay un marco universal que describa el tiempo, pero de nuevo esto sólo refleja el mismo hecho físico. Entonces, por analogía, uno podría comparar las soluciones no triviales de las ecuaciones de Einstein con la geometría no euclidiana.

Sé que probablemente esto ya le resulte familiar y que, por su pregunta, parece que quiere pensar en las cosas desde un punto de vista diferente. Sin embargo, quería señalar que en cierto sentido la relatividad es como una axiomatización del tiempo, y que la profunda relación con la geometría no es un sesgo matemático, sino que se basa en observaciones físicas (así, a priori una ciencia).

Answer 4

En la teoría cuántica de campos algebraica, la evolución del tiempo puede identificarse con el flujo modular de la teoría de Tomita-Takesaki.

La configuración básica de la teoría cuántica de campos algebraica es que se nos da un functor covariante
$\mathcal A$ : {dos conos en nuestro espacio-tiempo $\mathbb R^4$ } $\mapsto$ {algebras de von Neumann en H }.
Aquí, H es un espacio de Hilbert. Un cono doble es la intersección de un cono ligero con un cono ligero inverso. El álgebra de von Neumann $\mathcal A (\mathcal O)$ asociado a un doble cono $\mathcal O$ se debe considerar como generada por todos los posibles observables que se pueden observar dentro de la cantidad limitada de espacio y de tiempo que se tiene en $\mathcal O$ . También hay un distinguido vector $\Omega$ ∈ H llamado el vector de vacío.

Bien. Esa es la configuración.
Entonces, hay un montón de axiomas...
Me los saltaré. Entre otras cosas, quieres las álgebras $\mathcal O$ para ser generados por campos Whitman (=distribuciones valoradas por el operador) emparejados con funciones con soporte en $\mathcal O$ .

El resultado del que hablo se llama Teorema de Bisognano-Wichman . Dice que el flujo modular de la teoría Tomita-Takeaski para el álgebra $\mathcal A (\mathcal O)$ con respecto al vector $\Omega$ puede identificarse con una versión de la traslación del tiempo. Aquí, digo "una versión" porque se quiere una acción de $\mathbb R$ que preserva $\mathcal O$ . Es un flujo que fija los dos puntos del cono de $\mathcal O$ y que respeta la clase conforme de la métrica minkowskiana sobre $\mathbb R^4$ .

Recomiendo el libro de Araki Teoría matemática de los campos cuánticos para una suave introducción a la teoría cuántica de campos algebraica.

Answer 5

Hmmm... la pregunta formulada mezcla íntimamente la mecánica cuántica y la relatividad general, en el sentido de que el tiempo (tal como lo experimentamos en la vida cotidiana) está asociado a nuestra capacidad de ordenar causalmente los acontecimientos.

Por ejemplo, comunicamos fácilmente información hacia adelante en el tiempo, pero no hacia atrás, y en particular, no podemos enviar información más rápido que la velocidad de la luz. ¿Cómo funciona esto?

Y lo que es más difícil: ¿cómo podemos reducir estos enigmas físicos a problemas matemáticos bien planteados?

La discusión en el libro de texto de Nielsen y Chuang Computación cuántica e información cuántica de "The Principles of Deferred and Implicit Measurement" se refiere directamente a estos misterios ... y a su vez, la discusión de Nielsen y Chuang se deriva en gran medida del trabajo de Kraus, Lindblad y Choi ... y a su vez, Kraus, Lindblad y Choi basaron su trabajo en gran medida en los teoremas derivados en un árido artículo de 1955 de W. Forrest Stinespring titulado "Positive Functions on { $C^\ast$ }-Algebras".

Así que nos preguntamos cómo se pueden vincular explícitamente los áridos teoremas algebraicos de Stinespring con los jugosos misterios físicos de la causalidad, la relatividad y la mecánica cuántica.

Bueno, a principios de esta semana tuve ocasión de publicar sobre este enlace en el sitio web de Scott Aaronson Shtetl optimizado weblog, y adjunto esa discusión.

La respuesta corta es: "Un experimento seminal de 1955 de Hanbury Brown y Twiss estableció la conexión"... y los detalles son muy interesantes.

Se han escrito libros enteros sobre este tema, por lo que espero que a los lectores de MathOverflow no les moleste una respuesta bastante larga... que, sin embargo, sólo cubre una pequeña fracción de este fascinante tema...

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(de un puesto en Shtetl optimizado )

Un aspecto maravilloso (de los muchos que hay en mi opinión) de Scott [Aaronson] y Alex [Arkhipov] nueva clase de experimentos de óptica lineal es la motivación que proporcionan estos experimentos para que los estudiantes vayan más allá del célebre Conferencias sobre física en la comprensión de la física del recuento de fotones.

[nota añadida: en particular, el recuento de fotones como canal de comunicación causal].

La física cuántica de la detección de fotones es un tema sutil que incluso Richard Feynman se equivocó en alguna ocasión. La historia del error de Feynman se cuenta vívidamente en el Física de hoy obituario de Robert Hanbury Brown (volumen 55(7), 2002), en el que se cuenta que Feynman se levantó durante una charla Hanbury Brown, proclamando (erróneamente) "¡No puede funcionar!", y abandonando la conferencia.

La física cuántica asociada a esta historia de Feynman se resume en una serie de seis cartas cortas, con un total de 12 páginas, que aparecieron en Naturaleza durante 1955-6. Estas cartas describen lo que hoy se llama el "efecto Hanbury Brown y Twiss", la primera observación de correlaciones de recuento de fotones de orden superior.

La historia del efecto Hanbury Brown y Twiss, contada en las páginas de Naturaleza En efecto, tiene seis emocionantes episodios:

• Episodio 1: Hanbury Brown y Twiss anuncian (en efecto) "En el laboratorio, observamos correlaciones no triviales en los fotones generados por los gases incandescentes". ( Correlación entre fotones en dos haces de luz coherentes , Nature 177(4497), 1956).

• Episodio 2: Brannen y Ferguson anuncian (en efecto) "Las afirmaciones de Hanbury Brown y Twiss, de ser ciertas, requerirían una importante revisión de algunos conceptos fundamentales de la mecánica cuántica; además, cuando hicimos un experimento más cuidadoso, no vimos nada". ( La cuestión de la correlación entre fotones en rayos de luz coherentes , Nature 178(4531), 1956).

• Episodio 3: Sin haber visto aún la crítica de Brannen y Ferguson, Hanbury Brown y Twiss anuncian además (en efecto) "Observamos correlaciones no triviales incluso en los fotones de la estrella Sirio, y nuestra teoría nos permite determinar su diámetro" ( Prueba de un nuevo tipo de interferómetro estelar en Sirio , Nature 178(4541), 1956).

• Episodio 4: Hanbury Brown y Twiss responden: "El experimento de Brannen y Ferguson carecía de sensibilidad; si hubieran analizado su experimento correctamente, habrían esperado para no ver ningún efecto" ( La cuestión de la correlación entre fotones en rayos de luz coherentes , Nature 178(4548), 1956).

• Episodio 5: En una carta adjunta, Ed Purcell anuncia (en efecto) "Hanbury Brown y Twiss tienen razón, además sus predicciones teóricas y los datos de sus experimentos están de acuerdo con la mecánica cuántica tal como se entiende correctamente". (Nature 178(4548), 1956).

• Episodio 6: Hanbury Brown y Twiss anuncian (en efecto) "Cuando los métodos experimentales de Brannen y Ferguson se implementan con mayor sensibilidad, y se analizan con el debido respeto a la teoría cuántica tal y como la explica Purcell, los resultados confirman totalmente nuestros anteriores hallazgos." ( Correlación entre fotones, en haces de luz coherentes, detectados por una técnica de recuento de coincidencias , Nature 180(4581), 1956).

Cuando leemos la historia de 12 páginas de Hanbury Brown y Twiss al lado de la discusión del conteo de fotones en Las conferencias de Feynman sobre física nos llaman la atención tres aspectos de los experimentos de Hanbury Brown y Twiss que son no se enfatiza en el Conferencias Feynman .

En primer lugar, los artículos de Hanbury Brown y Twiss exhiben una encantadora fisicidad que está en gran medida ausente en las conferencias de Feynman. Por ejemplo, Hanbury Brown y Twiss describen el uso de un "motor integrador" para medir la corriente total asociada a la detección de fotones durante un experimento. Los estudiantes de física modernos se preguntarán "¿Qué diablos es un motor integrador?", pero en la literatura de física de los años 50 este concepto se consideraba tan intuitivamente obvio que no requería explicación: el número total de revoluciones de un motor eléctrico (¡contado por medios puramente mecánicos!) obviamente puede hacerse proporcional a la integral de la corriente que circula por él... así es como funcionan los contadores eléctricos, ¿no?"

Como la carta de Ed Purcell a Naturaleza observa con razón, la observación de sutiles correlaciones cuánticas con contadores puramente mecánicos "añade brillo al notable logro de Hanbury Brown y Twiss".

En segundo lugar, el protocolo experimental de Hanbury Brown y Twiss incluye elementos muy sofisticados desde el punto de vista de la moderna teoría de la información cuántica. En particular, mientras alinean su aparato, invierten el flujo de fotones colocando sus ojos en la posición de la fuente, y mientras miran físicamente a dos fotodetectores a través de un espejo semiparalizado, ajustan los espejos de forma que las imágenes de los fotodetectores se superponen coherentemente. Hoy en día apreciamos que, desde el punto de vista de la QED, esta coherencia invertida en el tiempo es necesaria para asegurar que las fluctuaciones cuánticas en las corrientes del detector de fotones estén asociadas de forma determinista a las fluctuaciones cuánticas en las corrientes de la fuente de fotones.

En tercer lugar, se deduce que en las observaciones de Sirio registradas por Hanbury Brown y Twiss, su registro experimental de fotocorrientes correlacionadas aquí en la Tierra está asociado de forma determinista a las corrientes que abarcan la superficie de la remota estrella Sirus ¡a ocho años luz de distancia! Esta implicación contraintuitiva fue la razón por la que muchos físicos teóricos (incluido Feynman) consideraron al principio que los resultados de Hanbury Brown y Twiss eran (literalmente) increíbles.

Hoy en día apreciamos que esta aparente paradoja se reconcilia de forma natural a través del mecanismo informático cuántico que Nielsen y Chuang denominan "Principios de la Medición Diferida e Implícita", principios que se asocian formalmente al trabajo de Kraus y Lindblad en la década de 1970; principios que no fueron apreciados fácilmente por Feynman y sus colegas en la década de 1950.

[Nota añadida: aunque Stinespring publicó sus teoremas en 1955, los físicos tardaron décadas en apreciar sus implicaciones].

Además, los experimentos de Hanbury Brown y Twiss suponían un enorme derroche de recursos fotónicos. La estrella Sirio emite alrededor de $10^{46}$ fotones/segundo, de los cuales Hanbury Brown y Twiss detectaron unos $10^{9}$ estados enredados de dos fotones/segundo ... la eficiencia de producción relativa era, por tanto, una pésima $10^{-37}$ . Incluso hoy en día, más de 50 años después, la producción de estados entrelazados de seis fotones sigue siendo consternadamente ineficiente: en experimentos recientes $10^{18}$ fotones/segundo de potencia de bombeo producen aproximadamente un estado de seis fotones por cada mil segundos, para una eficiencia de producción relativa del orden de $10^{-21}$ .

Vemos que uno de los retos fundamentales (¡entre otros muchos!) que el experimento de Scott y Alex plantea a los físicos del siglo XXI, es idear métodos para generar estados fotónicos entrelazados que sean exponencialmente más eficiente que los métodos existentes. Para conseguirlo, los físicos modernos tendrán que hacer exactamente lo que hicieron Hanbury Brown y Twiss... "mirar" a los detectores de fotones desde el punto de vista del tiempo invertido de la fuente de fotones ... y luego (mediante un diseño cuidadoso) disponer que las corrientes de la fuente de fotones tengan una correlación casi unitaria con las corrientes del detector de fotones.

Se trata de un inmenso reto práctico en la electrodinámica cuántica de la cavidad, del que seguro que aprenderemos mucho al intentar resolverlo. En la actualidad, estamos tan lejos de tener fuentes de n-fotones cuánticos coherentes y escalables como de tener ordenadores cuánticos de n-puertas coherentes y escalables.

Por eso, desde el punto de vista de la ingeniería, es prudente considerar que los experimentos de óptica lineal de n-fotones no son obviamente más fáciles que la construcción de circuitos cuánticos de n-puertas, sino que son un reto comparable desde el punto de vista técnico. Y es por ello que no me sorprendería (a mí) que los algoritmos de muestreo de distribución de Aaronson/Arkhipov resultaran a la larga tan seminales desde el punto de vista matemático y teórico -y tan desafiantes desde el punto de vista experimental- como los algoritmos de factorización de números de Peter Shor.

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Resumen: Una comprensión satisfactoria del tiempo matemático/físico está íntimamente ligada a nuestra comprensión de experimentos como el de Hanbury Brown y Twiss ... e incluso después de muchas décadas de trabajo, todavía tenemos un largo camino por recorrer, para lograr esta comprensión.

En particular, a pesar de más de un siglo de trabajo, todavía carecemos de una hoja de ruta matemática que dé cabida de forma natural a la dinámica cuántica de la teoría de campos, a la causalidad informática de Stinespring/Kraus/Choi/Lindblad, y a la geometría dinámica del espacio de estados de Riemann y Einstein ... véase la sección final del manuscrito arxiv de Ashtekar y Schilling Formulación geométrica de la mecánica cuántica y también la tesis de Troy Schilling Geometría de la mecánica cuántica (Penn State, 1996) para más información.

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Comentario añadido: La tesis de Troy Schilling de 1996 Geometría de la mecánica cuántica está bien concebido, y a menudo me he preguntado sobre la carrera posterior de Schilling. Si alguien tiene información, por favor, publique un comentario.