¿Por qué los elementos integrales se definen en términos de polinomios mónicos? ¿Por qué queremos dividir los casos entre polinomios no mónicos y polinomios mónicos? Es decir, elementos algebraicos y elementos integrales. ¿Motivación?
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
user1952009
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Prueba con $\sqrt{2}$ entonces el anillo $\mathbb{Z}[\sqrt{2}]$ es sólo $\{ a+b\sqrt{2}, (a,b) \in \mathbb{Z}\}$ . Con $\frac{\sqrt{2}}{2}$ entonces el anillo $\mathbb{Z}[\frac{\sqrt{2}}{2}]$ es $\{\frac{a+b\sqrt{2}}{2^k}, (a,b,k) \in \mathbb{Z}\}$ . La diferencia es que $\frac{\sqrt{2}}{2}$ no es la raíz de ningún polinomio mónico en $\mathbb{Z}[x]$ .
En otras palabras $\mathbb{Z}[\alpha]$ es una entidad finitamente generada $\mathbb{Z}$ -si $\alpha$ es la raíz de un polinomio mónico.
Homer
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Cualquier respuesta puede ser un poco argumentada a posteriori. Se podría decir que la razón por la que los enteros algebraicos son importantes es porque se ha desarrollado con éxito mucha teoría utilizando los enteros algebraicos como concepto.
Pero una forma de verlo es que el anillo de enteros de un campo numérico es un anillo que es un generado finitamente módulo sobre $\mathbb{Z}$ , lo que no ocurriría si se incluyeran las raíces de los polinomios no monómicos. (El comentario de @reuns más arriba da un ejemplo de esto.) La generación finita es como si fuera discreta, lo cual es una diferencia importante entre $\mathbb{Z}$ y $\mathbb{Q}$ .
