Cómo encontrar la derivada de esta fórmula？

Question

$F(x)$ = $\int_{\frac{1}{x}}^{1}xf(u)du$ + $\int_{1}^{\frac{1}{x}}\frac{f(u)}{u^2}du$

Después de derivar x, ¿cuál es la derivada de esta fórmula? $(F'(x))$

No estoy familiarizado con este tipo de derivación multivariante.

Gracias

Answer 1

Necesitamos mediante el cambio de variable ponernos en la situación de que se puede utilizar que la derivada de $\int_1^xf((t)dt $ es $f(x)$ y la regla de la cadena. Así que reescribamos

$$\begin{align} F(x) &=-x\int_1^{{1\over x}}f(u)du+\int_1^{{1\over x}}{f(u)\over u^2}du &=-x\int_1^{v(x)}f(u)du+\int_1^{v(x)}{f(u)\over u^2}du \end{align}$$

Donde $v(x)=1/x$

Ahora derivamos

$$F’(x)=\int_{{1\over x}}^1f(t)dt+\left({1\over x}-1\right)f({1\over x})$$