$\def\rr{{\bf r}}\def\ii{{\rm i}}\newcommand{\ket}[1]{\lvert#1\rangle}$ Yo me dedico principalmente a la física atómica (donde, por ejemplo, la dispersión de los átomos es muy pertinente), así que tengo una opinión ligeramente diferente sobre lo que cuenta como "útil" en la QFT. A menudo es muy útil definir un "operador de campo atómico" $\Psi(\rr)$ . Las excitaciones de este campo son átomos enteros, que pueden ser bosónicos o fermiónicos, en cuyo caso los campos satisfacen relaciones de (anti)conmutación adecuadas $$\Psi(\rr)\Psi^\dagger(\rr') \pm \Psi^\dagger(\rr')\Psi(\rr) = \delta(\rr-\rr'),$$ donde el signo menos (más) es para los bosones (fermiones). Así, si $\ket{0}$ es el estado de vacío que no contiene partículas, entonces un $N$ -El estado de la partícula corresponde a $$\ket{\phi} = \int\prod_{j=1}^N\mathrm{d}\rr_j\; \phi(\rr_1,\rr_2,\ldots,\rr_N) \Psi^\dagger(\rr_1)\Psi^\dagger(\rr_2)\cdots \Psi^\dagger(\rr_N)\ket{0},$$ donde $\phi(\rr_1,\ldots,\rr_N)$ es el $N$ -función de onda del cuerpo en el espacio de coordenadas.
Hasta ahora hemos considerado el operador de campo en la imagen de Schroedinger. En la imagen de Heisenberg, la evolución temporal del campo es generada por la ecuación de Heisenberg $$ \ii\hbar\dot{\Psi}(\rr,t) = -\frac{\hbar^2 \nabla^2}{2m} \Psi(\rr,t) + V[\Psi;\rr]\Psi(\rr,t),$$ donde el potencial (no lineal) se lee como $$ V[\Psi;\rr] = V_1(\rr) + \int{\rm d}\rr'\; V_2(\rr-\rr') \Psi^\dagger(\rr',t)\Psi(\rr',t).$$ El primer término $V_1(\rr)$ describe un potencial externo de una partícula, el segundo término $V_2(\rr)$ describe un potencial de interacción de dos cuerpos entre los átomos. El orden superior (es decir $n$ -potencial de cuerpo) también son posibles. Es sencillo generalizar el campo $\Psi(\rr)$ a un espinor que tiene un componente para cada posible estado interno del átomo. En este caso, los términos de potencial se generalizan a matrices o tensores de orden superior que acoplan diferentes estados internos, mientras que los términos derivados en el potencial podrían aparecer debido a campos gauge artificiales por ejemplo.
Como siempre en QFT, se trata de una teoría efectiva de baja energía. La aproximación no relativista para la energía cinética supone que el movimiento del centro de masa de los átomos es mucho más lento que $c$ . La descripción de campo de los átomos se rompe a escalas en las que su estructura interna se vuelve importante, por ejemplo, escalas de longitud comparables a la Radio de Bohr o energías comparables a la Energía de Rydberg .
Si quieres, puedes ver lo anterior como la cuantificación de un complejo clásico Campo "Schroedinger" $\Psi(\rr)$ (sustituir $\Psi^\dagger(\rr) \to \Psi^*(\rr)$ ). Este campo clásico de Schroedinger obedece a una ecuación (no lineal) de Schroedinger, con un Hamiltoniano y un Lagrangiano asociados, etc. Normalmente no lo hacemos, porque el campo clásico no describe nada especialmente interesante. Esto se debe a que 1) la naturaleza es cuántica y 2) no existen estados cuánticos para los que la descripción del campo clásico se acerque siquiera a una buena aproximación. La situación es diferente en, por ejemplo, la electrodinámica, donde la dinámica observable de los estados coherentes del campo electromagnético puede ser bien aproximada por las ecuaciones clásicas de Maxwell en muchos casos. Sin embargo, en las teorías de campo atómico, las excitaciones fundamentales están compuestas por fermiones y su número se conserva estrictamente. Esto significa que no se pueden preparar estados coherentes* y, por tanto, la teoría de campo clásica es en gran medida inútil (el mismo razonamiento se aplica, por ejemplo, a la ecuación clásica de Dirac).
*En los condensados de Bose-Einstein, el orden de largo alcance no diagonal hace que la descripción del estado coherente sea una buena aproximación para muchas propiedades de interés. En este caso, la teoría de campo clásica es muy útil; recibe el nombre de Ecuación de Gross-Pitaevskii .
