¿Un intervalo abierto es un conjunto abierto?

Question

En primer lugar, la pregunta que tengo es muy similar a esta pregunta, pero espero que no se cierra como duplicado desde que estoy en problemas, sin embargo.

Estoy tratando de algebraicamente demostrar que un intervalo abierto es un conjunto abierto. Si yo croquis, según lo sugerido por @rschwieb en la otra pregunta, entonces, parece bastante obvio que esto es cierto. Pero me gustaría ser capaz de mostrar de manera algebraica y después de buscar en varias fuentes encontradas en internet, me he decidido a preguntar aquí.

Por definición, veamos: \begin{equation} (c,d) = \{ x \in \mathbb{R} \mid c < x < d \} \end{equation} Además, vamos a $a \in (c,d)$, y recuerda que el $\epsilon$-barrio de $a$ es el conjunto: \begin{equation} V_\epsilon (a) = \{ x \in \mathbb{R} \mid |x-a| < \epsilon \} \end{equation} Ahora, si tomamos \begin{equation} \epsilon = \mathrm{min} \{ a-c,d-a \} \end{equation} a continuación,$a-\epsilon \geq c$$a+\epsilon \leq d$. Hasta aquí lo entiendo todo. Pero entonces no entiendo cómo se puede concluir que el $V_\epsilon (a) \subseteq (c,d)$? Lo siento si esta conclusión es muy obvio (que probablemente lo sea), pero por alguna razón que no puedo envolver mi cerebro. Cualquier ayuda es muy apreciada.

Answer 1

Elija $\epsilon \lt \mathrm{min} \{ a-c,d-a \}$.

El de la imagen geométricamente mediante el dibujo de una línea real. $ |x - a| \lt \epsilon $ representa a todos los puntos de la línea que se $\epsilon$-distantes desde el punto de $a$. Mediante la selección de $\epsilon \lt \mathrm{min} \{ a-c,d-a \}$ lo que tienes que hacer es elegir el más pequeño de la distancia desde el punto de $c$ a los límites del intervalo. Ahora si queremos crear un barrio (un conjunto abierto) alrededor de $c$ nuevo usando esta distancia mínima es evidente que será contenida originalmente en el intervalo.

Rigurosamente,

$x \in V_{\epsilon}(a) \implies |x - a| \lt \epsilon \iff a - \epsilon\lt x \lt a + \epsilon \tag{1}$

Ahora$\epsilon \le a-c $$\epsilon \le d - a$. El uso de estas para aproximar $\epsilon$$(1)$. Es decir,

$$ c=a - (a - c) \lt a - \epsilon\lt x \lt a + \epsilon \lt a + (d - a) = d \iff x \in (c,d) \implies V_{\epsilon}(a) \subseteq (c, d)$$

Answer 2

Tenga en cuenta que $x \in V_{\varepsilon}(a)$ si y sólo si $x > a-\varepsilon \ge c$ y $x < a+\varepsilon \le d$.

Answer 3

Aquí es una forma alternativa de ir demostrando que $V_\epsilon(a) \subset (c,d)$ $\epsilon >0$: en vez de "medir la distancia a los bordes," se puede "medir distancia al centro." Que $p$ sea el punto medio de $(c,d)$. Entonces

$$(c,d) = V_\delta(p),$$

donde $\delta:= |p-c|=|p-d|.$ da $a \in (c,d)$, que #% dado de $\mu = \delta-|a-p|.$ #%: $x \in V_\mu(a)$ $

Por lo tanto, $$|x-p|=|x-a+a-p| \leq |x-a|+|a-p| \leq \delta-|a-p|+|a-p|=\delta.$.