Grupo de difeomorfismo $\text{Diff}_\omega(D^2, \partial D^2)$ forma diferencial exacta.

Question

Dejemos que $D^2$ denotan el disco unitario cerrado en $\mathbb{R}^2$ . Sea $\omega = dx \wedge dy$ denotan la forma de área estándar en $\mathbb{R}^2$ (y en $D^2$ por restricción). Sea $\phi$ sea un difeomorfismo de $D^2$ que es igual a la identidad en una vecindad de $\partial D^2$ y que conserva la superficie; es decir $\phi^*\omega = \omega$ . Denotamos el grupo de tales difeomorfismos por $\text{Diff}_\omega(D^2, \partial D^2)$ . Lo sé por aquí que hay un $1$ -forma $\alpha$ con $d\alpha = \omega$ .

Tengo dos preguntas.

1. Es $\phi^* \alpha - \alpha$ ¿Exactamente?
2. Es $\phi^*\alpha - \alpha$ igual a $df$ para alguna función suave $f$ ?

Answer 1

$\phi^*\alpha - \alpha$ se cierra como $$\begin{split} d (\phi^* \alpha- \alpha) &= d\phi^*\alpha - d\alpha\\ & = \phi^* d\alpha - d\alpha \\ &= \phi^*\omega - \omega \\ &= \omega - \omega = 0 \end{split}$$

Así, $\phi^*\alpha - \alpha$ también es exacta como $D^2$ es contraíble, y es igual a $df$ para alguna función suave $f$ .