Es $Y_1,Y_2$ uniforme independiente $[0,1]$ ¿variable aleatoria?

Question

Supongamos que tenemos $Y_1,Y_2$ tomando valor en $[0,1]$ . La condición dada es que para todos los intervalos disjuntos $J_k,k=1,\dots, n$ s.t. $\cup_{k=1}^n J_k=[0,1]$ tenemos

$$P( \forall k, n_k \text{ of }Y_1,Y_2 \text{ is in } J_k) = \frac{2}{\Pi_{k=1}^n n_k!}\Pi_{k=1}^n|J_k|^{n_k} ,$$

donde $\sum n_k =2$ y $| \cdot |$ es la longitud del intervalo.

Me pregunto si esta condición implica que $Y_1,Y_2$ se distribuyen como uniformes independientes $[0,1]$ variables. El camino inverso es obvio, pero no estoy seguro de cómo utilizar la condición dada para mostrar $Y_1,Y_2$ son uniformes independientes.

Answer 1

Este no es el caso. Las mismas probabilidades son válidas para $Y_\lt=\min(Y_1,Y_2)$ y $Y_\gt=\max(Y_1,Y_2)$ (donde $Y_1$ y $Y_2$ están distribuidos uniformemente de forma independiente), sin embargo, éstos no están distribuidos uniformemente de forma independiente.