Ejemplos de clases de universalidad importantes conocidas además de Ising

Question

Estoy trabajando con RG y tienen una idea bastante buena de cómo funciona. Sin embargo, me he dado cuenta de que aunque la idea de universalidad es muy general y permite clasificar los sistemas críticos, los libros de texto parecen acabar siempre con el modelo de Ising como ejemplo. En consecuencia, mi conocimiento de otras clases de universalidad es muy pobre.

Mi pregunta es sencilla: ¿Qué otras clases de universalidad existen y cuáles son sus propiedades?

Sé que hay tantas clases de universalidad como puntos fijos de RG, así que mi pregunta nunca podrá ser respondida completamente. Sin embargo, una lista de 4 o 5 clases de universalidad (de equilibrio) bien establecidas y comprendidas me daría la sensación de que hay algo más que el modelo de Ising.

Por supuesto, agradeceré mucho las referencias a la literatura. Las reseñas que conozco sobre RG suelen centrarse en aspectos generales y dar pocos ejemplos.

Answer 1

Dos sistemas que pertenecen a la misma clase de universalidad tendrán los mismos exponentes críticos.

Hay muchas cosas que determinan la clase de universalidad de un sistema, una de ellas es su dimensión.

Le site Modelo Ising 2D es uno de los sistemas más estudiados en mecánica estadística porque admite una alma exacta , encontrada por Lars Onsager en 1944. Sus exponentes críticos son:

$$\alpha = 0 \ \ \ \beta = 1/8 \ \ \ \gamma = 7/4 \ \ \ \delta = 15 \ \ \ \nu = 1 \ \ \ \eta= 1/4$$

Pero tomemos los valores (experimentales) de los exponentes críticos para el Modelo 3D Ising :

$$\alpha = 0.110 \ \ \ \beta = 0.327 \ \ \ \gamma = 1.24 \ \ \ \delta = 4.79 \ \ \ \nu = 0.630 \ \ \ \eta= 0.0364$$

Por lo tanto, el modelo Ising 3D pertenece a una clase de universalidad diferente. O podemos tomar 2D percolación (que se puede resolver exactamente):

$$\alpha = -2/3 \ \ \ \beta = 5/36 \ \ \ \gamma = 43/18 \ \ \ \delta = 91/5 \ \ \ \nu = 4/3 \ \ \ \eta= 5/24$$

Así que otra clase de universalidad. Otras clases de universalidad serán, por ejemplo, la de la percolación 3D, la Modelo de Heisenberg o el Gas de Van der Waals . Aquí hay un lista .

Concluyo diciendo que todo sistema tiene un dimensión crítica superior (es D=4 para el modelo de Ising y D=6 para la percolación), por encima de la cual los exponentes críticos se vuelven constantes y pueden calcularse utilizando la teoría del campo medio. La dirección valores de campo medio de los exponentes críticos son:

$$\alpha = 0 \ \ \ \beta = 1/2 \ \ \ \gamma = 1 \ \ \ \delta = 3 \ \ \ \nu = 1/2 \ \ \ \eta= 0$$

Estos valores son los mismos que los del gas de Van der Waals; así que el gas VdW, el $4(5,6,7...)$ -D y el modelo de Ising. $6(7,8,9...)$ -D son ejemplos de sistemas que pertenecen a la misma clase de universalidad: la clase de campo medio.

Answer 2

Otros ejemplos son

• el Modelo de 8 vértices
• el modelo Ashkin-Teller (dos modelos Ising acoplados)
• el $q$ -Modelo Potts

Los modelos de Ashkin-Teller y Potts pueden ser mapeados en el modelo de 8 vértices. Este último se mapea en el gas de Coulomb cuyas propiedades críticas se conocen a partir de RG.