Demostrar que $K$ es un campo de división de $f(x)$ en $E$ .

Question

Dejemos que $K$ sea un campo de división de $f(x)$ en $F$ . Si $E$ es un campo tal que $F\subseteq E\subseteq K$ , demuestran que $K$ es un campo de división de $f(x)$ en $E$ .

Sabemos que $$f(x) = c(x-u_1)(x-u_2)\dots(x-u_n),$$ donde $c \in F \subseteq E \implies c \in E$ .

También sabemos que $$K=F(u_1, u_2, \dots, u_n).$$

¿Es necesario demostrar que $K=E(u_1,u_2,\dots,u_n)$ ? Si es así, ¿cómo podemos hacerlo?

¿O estoy completamente equivocado?

Answer 1

Tenga en cuenta que si $K = F(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ significa $K$ es "el subcampo más pequeño de $K$ que contiene $u_1,u_2,\ldots,u_n$ y $F$ . Ahora $E(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ es "el subcampo más pequeño de $K$ que contiene $(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ y $E$ . Pero como $E \subset K$ No hay diferencia entre $E(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ y $F(u_1,u_2,\ldots,u_n)$ Así que $K = (u_1,u_2,\ldots,u_n)$ .

Cuando dices " $K$ es el campo de división de $f(x)$ en $F$ ", sólo piensa " $K$ es el campo más pequeño con $F$ más las raíces de $f$ ". Por lo tanto, si se cambia el campo base por cualquier campo intermedio entre $E$ y $K$ No hay ninguna diferencia.