Grupo de orden $224$

Question

Cualquiera puede dar una pista para probar esto?

Cada grupo de orden $224$ tiene un subgrupo de orden $28$.

Answer 1

Extendido sugerencias:

Deje $P$ por un Sylow $7$-subgrupo. Hay dos alternativas para $n_7$, el número de los distintos conjugados de $P$ (=todos los Sylow $7$-de los subgrupos). Encontrarlos.

• Si $n_7>1$, entonces, ¿qué puedes decir acerca de la normalizador $N_G(P)$?
• Si $n_7=1$, entonces se puede usar el hecho de que $p$-grupos siempre han subgrupos de todos los órdenes permitidas por Lagrange del teorema? Recordemos que un producto de dos subgrupos es un subgrupo, si uno de ellos es normal.

Answer 2

Deje $P \in Syl_7(G)$, entonces, desde la $|Syl_7(G)|=[G:N_G(P)]\equiv 1 \text { mod } 7$, hay dos casos

(a) $[G:N_G(P)]=1$
(b) $[G:N_G(P)]=8$.

En el caso (a), $P \trianglelefteq G$. Elegir un subgrupo $H/P$$G/P$, de tal manera que $|H/P|=4$. Un grupo existe, ya que las $G/P$ tiene orden de 32 y tiene un subgrupo de orden 4 (de hecho, para cualquier potencia de $2$$32$). A continuación, $|H|=28.$

En el caso (b), se observa que la $|N_G(P)|=28$.

Answer 3

Deje $G$ ser un grupo de orden $224=2^5 \cdot 7$.

Deje $n_2$ el número de Sylow $2-$subgrupos en $G$ $n_7$ el número de Sylow $7-$subgrupos en $G$.

$n_2=1 \text{ or } 7$

Utilizando el tercer teorema de Sylow, $n_2=1 \text{ or } 7$, $n_7=1 \text{ or } 8$.

Supongamos que $n_2=7$ y deje $P_2$ ser un Sylow $2-$subgrupo. Por lo tanto, $7=n_2=[G:N(P_2)]=\frac{|G|}{N(P_2)}=\frac{224}{N(P_2)}$ donde $N(P_2)$ es el normalizador de la $P_2$$G$. Por eso, $|N(P_2)|=32$.

Ahora supongamos que $n_2=1$. Deje $P$ ser el único Sylow $2-$subgrupo de orden $2$, y deje $Q$ ser un subgrupo de orden $7$. Desde $P$ es normal en $G$ y $P \cap Q=\{e\}$, $PQ$ es un subgrupo de $G$ orden $14$.

Supongamos que $n_7=8$ y deje $P_7$ ser un Sylow $7-$subgrupo. Por lo tanto, $8=n_7=[G:N(P_7)]=\frac{|G|}{N(P_7)}=\frac{224}{N(P_7)}$ donde $N(P_7)$ es el normalizador de la $P_7$$G$. Por eso, $|N(P_7)|=28$, lo $N(P_7)$ es el deseado subgrupo.

Ahora supongamos que $n_7=1$. Deje $P$ ser el único Sylow $7-$subgrupo de orden $7$, y deje $Q$ ser un subgrupo de orden $2$. Desde $P$ es normal en $G$ y $P \cap Q=\{e\}$, $PQ$ es un subgrupo de $G$ orden $14$.

Por lo tanto, cada grupo de orden $224$ tiene un subgrupo de orden $28$.