Construcción de una media común proporcional

Question

"Dados cuatro puntos, A, B, C, D en orden sobre una recta construye un punto P sobre BC tal que PA.PB = PC.PD"

Supongo que el resultado final es tener dos triángulos rectángulos AXP con X perpendicular a B y ángulo AXP un ángulo rt y PYD con Y perpendicular a C y < PYD un ángulo rt, PX = PY (siendo las proporciones medias requeridas) pero no veo cómo llegar a ello. ¿Qué me falta? ¿Alguna idea?

Answer 1

Este es un método más fácil.

Paso-1 Mueve el segmento de línea BC verticalmente hacia arriba un número de unidades hasta B'C'.

Paso 2. Que AC' y DB' se crucen en X.

Paso-3 Dibuja XT, la perpendicular de X a AD.

En la figura (1), $\frac {XD}{XB’} = \frac {XA}{XC’}$

En (2), $\frac {XD}{XB’} = \frac {TD}{TB}$

En (3), $\frac {XA}{XC’} = \frac {TA}{TC}$

∴ $\frac {TD}{TB} = \frac {TA}{TC}$ y se obtiene el resultado requerido.

Answer 2

La construcción no es tan directa, y tampoco me gusta. De todos modos, aquí va:-

Dejemos que $AB = x$ , $BC = y$ y $CD = z$ sean las longitudes dadas de la recta $ABCD$ .

Además, dejamos que $P$ estar a distancia $t$ de $B$ .

$PA.PB = PC.PD$ significa $(t + x)t = (y – t)(y – t + z)$

Simplificando y reordenando, tenemos $t = \frac {y + z}{x + y + z + y}y$ [Editado.]

Dividir el segmento de línea $y$ en una proporción conocida no es tan difícil de construir.