Convergencia de medidas concentradas en gráficas de funciones

Question

Supongamos que tenemos una secuencia de medidas de probabilidad $\{ \mu_n\}$ en $\mathbb{R}^{d+m}$ donde cada elemento se concentra en la gráfica de una función, es decir $\mu_n$ se concentra en $\{ (x,f_n(x)) :\; x \in \mathbb{R}^d\}|$ para alguna función $f_n : \mathbb{R}^d \to \mathbb{R}^m$ .

Supongamos que $\mu_n$ cubre débilmente a $\mu$ . ¿Podemos decir que $\mu$ ¿también se concentra en la gráfica de una función? ¿Cambia la respuesta si suponemos que el rango de todas las $f_n$ está restringido a algún conjunto finito?

Answer 1

No. La medida de arclitud en la gráfica de $y=x^n$ , $0\le x\le 1$ converge débilmente a la medida de arclitud en la unión de segmentos de línea de $(0,0)$ a $(1,0)$ y luego a $(1,1)$ . Este último conjunto no es un gráfico.

La respuesta sigue siendo negativa si cada $f_n$ toma valores en el mismo conjunto finito. Sea $f_n$ sea el $n$ La función Rademacher, es decir, $f_n(x)=\operatorname{sign}\sin (2\pi\cdot 2^n x) $ para $x\in [0,1]$ . Sea $\mu_n$ sea el pushforward de la medida de Lebesgue en $[0,1]$ en $f_n$ . Entonces el límite débil de $\mu_n$ es la media de la medida lineal de Lebesgue en segmentos de línea $I_+=\{(x,1):0\le x\le 1\}$ y $I_-=\{(x,-1):0\le x\le 1\}$ . Por lo tanto, el soporte del límite es $I_+\cup I_-$ que no es un gráfico.

Lo que se puede deducir del apoyo de $\mu$ es que está contenida en el cierre de $\bigcup \operatorname{supp}\mu_n$ . De hecho, si $U$ es un conjunto abierto en el que cada $\mu_n$ es cero, entonces toda función continua con soporte en $U$ se integra a cero contra cada $\mu_n$ y, por tanto, contra $\mu$ . De ello se desprende que $U\subseteq (\operatorname{supp}\mu)^c$ .