¿Tiene el elemento de identidad de un grupo un inverso?

Question

No consigo encontrar nada sobre el tema.

Answer 1

Todos los elementos de un grupo tienen un inverso. Esto es un requisito en la definición de un grupo.

Para un elemento $g$ en un grupo $G$ , un inverso de $g$ es un elemento $b$ tal que $gb = e$ donde $e$ es la identidad en el grupo. (Como la inversa de un elemento es única, solemos denotar la inversa de $g$ $g^{-1}$ o $-g$ .)

Tenga en cuenta ahora que $ee =e$ Por lo tanto, por definición $e$ es un inverso de sí mismo.

Quizá te preguntes si otros elementos pueden ser sus propios inversos. La respuesta es sí. Por ejemplo, en el grupo $\mathbb{Z}_2$ de orden $2$ , ambos elementos son su propia inversa.

Answer 2

Dejemos que $1$ sea el elemento de identidad. Entonces su inverso $a$ se define por $$ 1\cdot a = 1 $$ Pero $1 \cdot x = x$ así que en particular $1 \cdot a = a$ . Por lo tanto, $a = 1$ y $1$ es su propia inversa.

Answer 3

Si $e$ es el elemento neutro de $G$ entonces $eg=ge=g$ para todos $g\in G$ en particular para $g=e$ entonces $ee=e$ , es decir $e=e^{-1}$ .

Answer 4

Dejemos que $g = e^{-1}$ .

Entonces $g*e = e*g = e$ . Resolver para $g$ .

Entonces $g*e = e \implies g*e*e^{-1} = e*e^{-1} => g = e$ .

Esto se vuelve un poco tonto cuanto más lo piensas.