Teoría de campos de clases utilizando sólo ídolos de norma 1

Question

No soy ningún experto, así que la respuesta a esta pregunta puede ser obvia, pero ahí va.

En la formulación de Chevalley de la CFT obtenemos los mapas de Artin $J_k \rightarrow Gal(L/k)$ , donde $J_k$ es el grupo de todos los ídolos de $k$ . Sin embargo, sabemos que hay un buen subgrupo $J_k^1$ de los ídolos obtenidos tomando sólo los que satisfacen la fórmula del producto $\prod_{v} |x_v| = 1$ . Obsérvese que esto todavía contiene todos los ídolos principales, todavía se proyecta sobre $I_k$ y tiene propiedades adicionales atractivas como la compacidad de $J_k^1/k^*$ . ¿Existe una manera de establecer la CFT utilizando cocientes de este grupo más agradable, y si es así, cuáles son las ventajas de trabajar con el superficialmente más difícil de manejar $J_k$ ?

Gracias.

Answer 1

Yo tampoco soy un experto, pero esto es lo que pienso. Si $k$ es un campo global de característica cero (es decir, un campo numérico algebraico), entonces se puede trabajar con $J_k^1$ en lugar de $J_k$ sin perder (o cambiar) nada. Esto se debe a que el núcleo del mapa de Artin contiene un subgrupo $N$ de $J_k$ es isomorfo al grupo multiplicativo de los reales positivos, y $J_k$ factores (no canónicos) como $J_k\cong N\times J_k^1$ . En otras palabras, en la característica cero el mapa de Artin no ve la norma de un ídolo. Si $k$ es un campo global de caracteres finitos (es decir, un campo de funciones sobre un campo finito $\mathbb{F}_q$ ), la situación es muy diferente. En este caso, la imagen de $J_k^1$ bajo el mapa de Artin es igual a $Gal(L/k_0)$ , donde $k_0$ es la unión de todas las extensiones de campo constante de $k$ (es decir, el compositum de $L$ y el cierre algebraico de $\mathbb{F}_q$ en el cierre algebraico de $k$ ). Más precisamente, la norma de un ídolo dice precisamente cómo actúa su imagen bajo el mapa de Artin en $k_0$ Si la norma es $q^{-r}$ entonces la acción sobre el cierre algebraico de $\mathbb{F}_q$ es $x\mapsto x^{q^r}$ .