Dos problemas de límites

Question

Para esta pregunta Me he atascado en la parte d):

Definir una secuencia $(a_n)_{n \in \mathbb{N}_+}$ recursivamente por $$a_1 = 1, \hspace{.2in} a_{n + 1} = 1 + \frac{1}{a_n}$$ Demuestra que

(a) $1 \le a_n \le 2 \forall n \in \mathbb{N}_+$ .

(b) $\Big((a_{n + 2})^2 - a_{n + 2} - 1\Big)$ tiene el mismo signo que $\Big((a_n)^2 - a_n - 1\Big)$ .

(c) $(a_{2k})_{k \in \mathbb{N}_+}$ es una secuencia decreciente y $(a_{2k - 1})_{k \in \mathbb{N}_+}$ es una secuencia creciente.

(d) $(a_{2k})_{k \in \mathbb{N}_+}$ y $(a_{2k - 1})_{k \in \Bbb{N}_+}$ convergen al mismo límite $\ell$ . Deduce que $(a_n)_{n \in \Bbb{N}_+}$ también converge a $\ell$ . Encuentre el valor de $\ell$ .

He dicho que la primera parte se deduce directamente por la regla del turno. Sin embargo, no estoy seguro de cómo deducir que An converge al mismo límite L. Parece intuitivo que si los miembros de impar y los miembros pares convergen a L entonces todo el lote debería hacerlo pero ¿cómo puedo decirlo formalmente?

Y el siguiente pregunta :

Dado $p \in \Bbb{N}_+$ , set $a_n := \left(1 + \frac{p}{n}\right)^n$ . Siembra que $\lim_{k \to \infty} a_{pk} = e^p$ .

¿Alguna ayuda sobre cómo mostrarlo?

Muchas gracias.

Answer 1

Dado que usted ya conozca ambas secuencias (la de los índices Impares y la de los pares) convergen (¿por qué?), puedes aplicar la aritmética de límites:

$$a_{n+2}=1+\frac1{a_{n+1}}=1+\frac1{1+\frac1{a_n}}\implies\;\text{if}\;\;\lim_{n\to\infty,\;n\;odd} a_n=\alpha\;,\;\text{then:}$$

$$\alpha=1+\frac1{1+\frac1\alpha}=1+\frac\alpha{\alpha+1}=\frac{2\alpha+1}{\alpha+1}\implies$$

$$\alpha^2-\alpha-1=0\implies \alpha=\frac{1\pm\sqrt5}2\implies \alpha=\frac{1+\sqrt5}2\;\;\text{(why?)}$$

Tenga en cuenta que exactamente lo mismo que lo anterior muestra que la secuencia con índices pares converge a lo mismo, y entonces la misma muestra que la secuencia general converge a la misma...

Sobre la segunda pregunta:

$$a_{pk}:=\left(1+\frac p{pk}\right)^{pk}=\left[\left(1+\frac1k\right)^k\right]^p\xrightarrow[k\to\infty]{}e^p$$