Pregunta sobre la prueba de Cayley-Hamilton:

Question

Estoy leyendo la prueba de Cayley-Hamilton de Axler:

Supongamos por hipótesis de inducción que para $1 < j \leq n$

$ 0 = (T-\lambda_1I)v_1 = (T-\lambda_1I)(T-\lambda_2I)v_2 = \ldots = (T-\lambda_1I)\ldots (T-\lambda_{j-1}I)v_{j-1}$

Entonces, como $(T- \lambda_jI)v_j \in$ span $(v_1, \ldots, v_{j-1})$ A continuación, aplicando $(T-\lambda_1I)\ldots (T-\lambda_{j-1}I)$ a $(T- \lambda_jI)v_j$ da $0$ .

Así que pruebo un poco:

Por ejemplo: $Sv_1 = 0$ , $(ST)v_2 = 0$ , entonces dejemos que $v = a_1v_1 + a_2v_2$

Pero $(ST)(v) = (ST)(a_1v_1 + a_2v_2) = a_1(ST)v_1$ que no es necesariamente $0$ ? ¿Dónde está mi error?

Answer 1

Convirtiendo el comentario en una respuesta como sugiere Julian en los comentarios:

Si $S$ y $T$ fueran matrices arbitrarias, entonces $(ST)v_1$ puede no ser cero, pero aquí su $S$ es igual a $T$ más un escalar, por lo que conmuta con $T$ . Es cierto que si $S$ y $T$ de viaje, $(ST)v_1 = T(Sv_1) = 0$ .