Si $\alpha$ es un cardinal regular, la unión de una cadena elemental de $\alpha$ -modelos saturados es también una $\alpha$ -modelo saturado

Question

Estoy estudiando la Teoría de Modelos con el libro de Chang-Keisler, y estoy tratando de resolver el siguiente problema planteado en el capítulo 5:

La unión de una cadena elemental $(M_i)_{i < \alpha}$ de $\alpha$ -modelos saturados también es $\alpha$ -saturado, si $\alpha$ es regular.

Estoy considerando la siguiente definición:

$M$ es un $\alpha$ -si para todo $A \subset M$ , $|A| < \alpha$ Cada $1$ -tipo $p$ en $A$ en $T(M) = \left \{ \varphi: M \models \varphi \right \}$ se realiza en $M$ es decir, existe $a \in M$ tal que $M \models \varphi(a), \, \forall \varphi \in p.$

Mi intento:

Dejemos que $(M_i)_{i < \alpha}$ sea una cadena elemental de $\alpha$ -saturados y dejar que $M = \bigcup_{i < \alpha} M_i$ . Dado $A \subset M$ con $|A| < \alpha$ y $p$ a $1$ -Tipo en $A$ en $T(M)$ si demuestro que existe $i < \alpha$ tal que $p$ es un tipo sobre $T(M_i)$ podríamos concluir que existe $a$ en $M_i$ con $M_i \models \varphi(a)$ para todos $\varphi \in p$ . Por lo tanto, $a \in M$ y $M \models \varphi(a)$ ya que $M_i$ es una subestructura elemental de $M$ .

Entonces, ¿cómo puedo probar la existencia de tal $i < \alpha$ ?

Answer 1

Cada elemento $a$ de $A$ está en $M_{i(a)}$ para algunos $i(a)<\alpha$ . Desde $|A|<\alpha$ Hay menos de $\alpha$ de estos $i(a)$ 's. Por la regularidad de $\alpha$ Hay algunos $\beta<\alpha$ que es mayor que todos los $i(a)$ 's. Así que $A\subseteq M_\beta$ . Como $M_\beta$ es $\alpha$ -saturado, $p$ se realiza en $M_\beta$ y por lo tanto (ya que $M_\beta\preceq M$ ) también se realiza en $M$ .