Intento hasta ahora es que he intentado usar el teorema de Lagrange pero estoy teniendo problemas en mostrar el primer resultado sobre los dobles cosets. En cuanto a las tres últimas afirmaciones, estoy completamente perplejo. Cualquier ayuda será apreciada, gracias.
Si $A\to B$ es un mapa onto y $\Gamma$ una partición del conjunto de $B$ entonces las preimágenes de las células de $\Gamma$ forman una partición de conjunto del dominio $A$ . Considere el mapa $G\to G/K$ y la partición $G/K$ en $H$ -órbitas; esto demuestra que el conjunto de cosetas dobles $H\backslash G/K=\{HgK:g\in G\}$ particiones $G$ . Alternativamente, se puede tener el producto $H\times K$ actuar $G$ a través de $(h,k)g:=hgk^{-1}$ y luego $G$ mod $H\times K$ es de hecho el espacio del doble coset $H\setminus G/K$ .
(1) El doble coset más sencillo es $HK$ . Su tamaño es $|H||K|/|H\cap K|$ . ¿Y si $|H\cap K|=1$ y el producto $|H||K|$ tiene demasiados $|G|$ s factores primos (contados con multiplicidad) para dividir $|G|$ ?
La forma más fácil de organizarlo es si $H,K$ son grupos cíclicos distintos de orden primo $p$ (por lo que se cruzan trivialmente) y $p^2\nmid |G|$ . El primo más pequeño es $p=2$ Así que vamos a usar eso. Necesitamos un grupo no abeliano; el más pequeño es $S_3$ . Qué ocurre con los subgrupos cíclicos distintos de orden $2$ ?
(De hecho, esta es la pista de ejemplo que se da en el comentario de David Wheeler).
(2) Aquí hay un truco: $|HgK|=|HgKg^{-1}|$ . Utilizando de nuevo la fórmula de recuento anterior, la pregunta se reduce a si $|H\cap gKg^{-1}|$ depende de $g$ . ¿Y si $H,K$ son conjugados pero desiguales?
(3) También puedes comprobar el ejemplo de (1) por si tienes suerte. De hecho, ¡también se podría invocar el ejemplo de (1) en el problema (2)!
Como $HK=\bigcup_{h\in H}hK$ es una unión de cosets izquierdos de $K$ podemos formar el espacio coset $HK/K$ en el que el grupo $H$ actúa transitivamente desde la izquierda. El estabilizador de $K$ es $H\cap K$ por lo que existe una biyección equivariante $HK/K\to H/(H\cap K)$ dado por $hK\mapsto h(H\cap K)$ . (¡Estabilizador de órbita!) Esto es lo que justifica la igualdad numérica entre ambos, incluso sin restricciones de finitud.
En general, cuando hay que demostrar que cada elemento de un conjunto se encuentra en una familia determinada de sus subconjuntos y que éstos son mutuamente disjuntos, esto indica que se trata de relaciones de equivalencia/particiones.
Entonces, ¿cuál es la relación que existe? Dejemos que $a,b \in G$ , definen una relación de $G \longrightarrow G$ de la siguiente manera: $$a \equiv b \qquad \iff \qquad \exists g \in G \, \text{ such that } a \in HgK \text{ and } b \in HgK.$$ Esto es lo mismo que decir $$a \equiv b \qquad \iff \qquad \exists h \in H, k \in K \text{ such that } a=hbk.$$ Intenta demostrar que se trata de una relación de equivalencia.
Llego dos años tarde a la fiesta, pero esto surgió en mi tarea, así que aquí tienes.
Una forma intuitiva de demostrar que una determinada relación determina una partición en un conjunto es demostrar que la relación en cuestión es una relación de equivalencia. Las relaciones de equivalencia definidas sobre los elementos de un conjunto lo particionan.
Dejemos que $G$ sea un grupo y que $H$ y $K$ sean subgrupos de $G$ . Sea $a, b \in G$ y definir la siguiente relación de congruencia: $$a \equiv b\ \ \text{if}\ \ b = hak \ \text{ for some } h \in H \text{ and some } k \in K. $$
Para demostrar que esta relación es una relación de equivalencia, necesitamos verificar las propiedades definitorias. Supongamos que todos los elementos son elementos de $G.$
Supongamos que $a \equiv b $ y $b \equiv c,$ así que $$b = hak \text{ and } c = h'bk'$$ para algunos $h, h' \in H$ y algunos $k, k' \in K$ .
Sustituyendo por $b$ rinde $$c = h'hakk'.$$
Desde $H$ y $K$ son grupos, $h'h \in H$ y $kk' \in K$ Así que $a \equiv c.$
Supongamos que $a \equiv b$ Así que $$b = hak \text{ for some } h \in H, k \in K,$$ entonces $$a = h^{-1}bk^{-1},$$ donde $h^{-1} \in H$ y $k^{-1} \in K,$ así que $b \equiv a$ .
Finalmente, $$a = 1a1,$$ donde $1 \in H$ y $1 \in K,$ así que $a \equiv a.$
Como habrás notado, cada una de ellas se desprende de una propiedad de un subgrupo.
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