¿Existe un teorema que diga que la QFT se reduce a la QM en un límite adecuado? ¿Un teorema similar al teorema de Ehrenfest?

Question

¿Existe un teorema que diga que la QFT se reduce a la QM en un límite adecuado? Por supuesto que sí, ya que la QFT es mecánica cuántica relativista. Pero, ¿existe uno más manifiesto? como el teorema de Ehrenfest que dicta la transición de la QM a la Mecánica Clásica.

Tengo curiosidad, ya que el objeto básico de la QM es la función de onda, mientras que el objeto básico de la QFT es el operador cuantizado, que parece muy diferente, y me pregunto cómo funciona la comparación.

(Por supuesto, soy consciente de que la QFT puede calcular correcciones para la energía potencial de Coulomb, lo que puede parecer una transición de la QFT a la QM, pero quiero una más manifiesta que esa).

Answer 1

Sí, lo hay. De hecho, no hay mucha diferencia entre la QFT y la QM (en lo que respecta al formalismo),

el objeto básico en QM es la función de onda mientras que el objeto básico en QFT es el operador cuantificado, que parece muy diferente,

no es del todo cierto. En QM se puede utilizar el formalismo hamiltoniano poniendo en primer plano los operadores, y en QFT se puede utilizar también la función de onda de un estado.

Nótese que en la QFT, una función de onda está asociada a una superficie de tiempo constante. Si hay dos partículas en esa superficie de tiempo constante, la función de onda de la QFT es la función de onda de estas dos partículas. Si se escribe la evolución temporal hamiltoniana de esta función de onda de dos partículas utilizando la QFT relativista, ésta tiene manifiestamente la forma de

Hamiltoniano estándar no relativista de dos partículas con términos de interacción + correcciones relativistas.

Tal vez haya leído demasiados libros de texto de QFT que sólo hacen hincapié en las funciones de correlación; intente leer un libro de texto de QFT para, por ejemplo, la teoría de la materia condensada. Entonces verás claramente que la QFT también puede formularse simplemente como una mecánica cuántica de sistemas de partículas de número variable (que en particular contiene un subsistema de número fijo en el límite no relativista. )

Answer 2

La respuesta depende del grado de sutileza con que se quiera llevar la pregunta. El paso de las DoF finitas a las infinitas es siempre delicado en algunas partes.

Si, por ejemplo, has leído la literatura sobre el límite termodinámico de la mecánica estadística, y todo te parece sencillo, entonces sí, la QFT se reduce a la QM, tal y como declaran Yuji y un montón de votantes, aunque considero que la falta de citas en la respuesta de Yuji es algo reveladora. Si piensas que el límite termodinámico está cargado, entonces es probable que pienses lo mismo de la reducción de QFT a QM. Sin embargo, AFAIK, no existe una declaración efectiva y simple de cuál podría ser el problema(s), si es que hay alguno, como lo ejemplifica la problemática Respuesta de Vladimir.

La renormalización, como forma de manejar el paso a infinitas DoFs en una variedad lorentziana con evolución no trivial, ciertamente juega un papel en cualquier reserva que uno pueda tener, pero muchos físicos ahora consideran que el grupo de renormalización es una forma adecuada de tratar las matemáticas. La mayoría de los libros sobre teoría de la materia condensada que recomienda Yuji, ya sean de QFT o de otro tipo, glosan en gran medida las preocupaciones matemáticas más difíciles que uno podría tener sobre la renormalización.

Su aparente aceptación de Ehrenfest como una reducción suficientemente buena de la mecánica cuántica a la clásica sugiere que para usted la respuesta a su pregunta es sí. Sin embargo, el teorema de Ehrenfest no es del todo aceptable para todos los físicos. Es una digresión del tema QFT/QM de su pregunta, pero, por ejemplo,

Phys. Rev. A 50, 2854-2859 (1994)
Inadecuación del teorema de Ehrenfest para caracterizar el régimen clásico
L. E. Ballentine, Yumin Yang y J. P. Zibin

Resumen: El límite clásico de la mecánica cuántica suele discutirse en términos del teorema de Ehrenfest, que afirma que, para un paquete de ondas suficientemente estrecho, la posición media en el estado cuántico seguirá una trayectoria clásica. Sin embargo, demostramos que ese criterio no es necesario ni suficiente para identificar el régimen clásico. En general, el límite clásico de un estado cuántico no es una única órbita clásica, sino un conjunto de órbitas. El hecho de que la posición media en el estado cuántico no siga una órbita clásica suele reflejar simplemente que el centroide de un conjunto clásico no tiene por qué seguir una órbita clásica. Un estado cuántico puede comportarse esencialmente de forma clásica, incluso cuando no se aplica el teorema de Ehrenfest, si se obtiene un acuerdo con los resultados calculados a partir de la ecuación de Liouville para un conjunto clásico. Ilustramos este hecho con ejemplos que incluyen movimientos clásicos tanto regulares como caóticos.

Enlace PRA: http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevA.50.2854
DOI: 10.1103/PhysRevA.50.2854

Para alguien que se mueve muy bien entre la clásica, la QM y la QFT, de quien obtuve el enlace anterior, sugiero

Entre lo clásico y lo cuántico
N.P. Landsman
arXiv:quant-ph/0506082v2
Resumen: La relación entre la teoría clásica y la cuántica es de vital importancia para la filosofía de la física, y cualquier interpretación de la mecánica cuántica tiene que aclararla. Nuestra discusión de esta relación es en parte histórica y conceptual, pero sobre todo técnica y matemáticamente rigurosa, incluyendo más de 500 referencias. Partiendo de la suposición de que la mecánica cuántica es universal y completa, discutimos tres formas en las que hasta ahora se ha creído que la física clásica emerge de la física cuántica, a saber, en el límite h -> 0 de la constante de Planck pequeña (en un sistema finito), en el límite de un sistema grande, y a través de la decoherencia y de las historias consistentes. El primer límite está estrechamente relacionado con la moderna teoría de la cuantización y el análisis microlocal, mientras que el segundo implica métodos de las álgebras C* y los conceptos de sectores de superselección y observables macroscópicos. En estos límites, el mundo clásico no surge como una realidad objetiva claramente definida, sino como una apariencia aproximada relativa a ciertos estados y observables "clásicos". La decoherencia aclara posteriormente el papel de dichos estados, en el sentido de que son "einseleccionados", es decir, robustos frente al acoplamiento con el entorno. Además, la naturaleza de los observables clásicos se dilucida por el hecho de que suelen definir conjuntos de historias (aproximadamente) consistentes. Señalamos que la clasicidad resulta de la eliminación de ciertos estados y observables de la teoría cuántica. Así, el mundo clásico no se crea por la observación (como afirmó Heisenberg en su día), sino por la falta de ella.
Observaciones: 100 páginas, que aparecerán en el Handbook of the Philosophy of Physics de Elsevier [que tiene]

Answer 3

Los resultados de la QFT no siempre son reducibles a la QM. Pero consideremos un caso simple de movimiento de carga en un campo externo. Supongamos que la energía es menor que la necesaria para la creación de pares. En la primera aproximación de Born el resultado de la QFT se parece al de la QM: la carga se dispersa elásticamente y ya está. Sin embargo, en la QFT existen correcciones superiores (radiativas). Tenerlas en cuenta cambia radicalmente el panorama. Brevemente, la probabilidad de dispersión elástica es cero. No se puede dispersar una carga sin perder algo de energía en radiación. Pero si se calcula una sección transversal inclusiva (suma de todas las inelásticas), coincide prácticamente con la elástica calculada en la primera aproximación de Born. Por lo tanto, es la imagen inclusiva la que se puede comparar razonablemente con los resultados de la QM. Inclusivo y promedio son afines: implican suma.

La imagen inclusiva no puede obtenerse actualmente a partir de las ecuaciones de QFT, a diferencia de las relaciones de Ehrenfest. Se obtiene con la suma de todos los órdenes de la teoría de perturbaciones y con la realización de renormalizaciones. Esto se debe a que la interacción carga-campo está escrita de manera incorrecta. En otras palabras, es así porque las ecuaciones de QFT son incorrectas. Mi modelo de juguete ( electrónica ) muestra cómo se podría reformular.

Answer 4

Una referencia de libro de texto para su comentario es N. Nagaosa QFT in Condensed Matter Physics. Sin embargo, si lo que buscas es invertir el procedimiento de la segunda cuantización, entonces busca en el principio del libro de Zee QFT in a Nutshell. Siento no poder señalar el número de página exacto pero haré lo mejor que pueda para describir el ejemplo, ya que no tengo el libro.

Creo que el ejemplo parte de una teoría de campo clásica y se le pide que la trate como un colchón con un número finito de muelles. Después de seguir un poco, si tienes alguna formación matemática en análisis esta técnica debería ser preocupante, porque cualquier procedimiento de limitación utilizado después de la linealización no restablecerá el continuo de estados, es decir, no hay suficientes números racionales para llenar toda la línea real. Así que cualquier explicación que te den de la segunda cuantización será siempre un ligero amaño al pasar de un número contable de grados de libertad a un número incontable de grados de libertad, incontable en el sentido de que el conjunto de estados adecuados será tan malo como la cardinalidad de los números reales.

Answer 5

He pasado mucho tiempo con los ojos abiertos buscando esta reducción y no la he visto. (El límite adecuado no es c-->infinito. Considera un positrón lento que se topa con un electrón).

En cuanto a los límites h-->0: Estos son a veces fáciles de obtener FORMALMENTE si expresas la teoría como un mapeo de observables en una abstracta C* abstracta. Con h = 0, el álgebra es conmutativa, y sus representaciones irreducibles corresponden a soluciones clásicas. Para QM, se obtiene la mecánica clásica. Para la QED, se obtiene la electrodinámica. [Para una QFT interactiva sin fermiones, no tengo ni idea. QFT sin fermiones, estoy sobre mi cabeza.