¿Los grupos de Lie compactos y conexos están en correspondencia con los grupos de Lie semi-simples? Creo que hay una condición en el centro (¿discreto?) pero no estoy seguro.
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Chad Cooper
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131
La respuesta a su título es "no"; muchos grupos de Lie semisimples no son compactos (por ejemplo, $SL_2(\mathbb{R})$ ). Estás confundiendo esto con el hecho de que un grupo de Lie complejo semisimple tiene una única forma real compacta, y que ésta es una biyección a grupos de Lie compactos semisimples. (Los grupos reductores complejos están en biyección con los grupos de Lie compactos generales; esto permite factores de toro en ambos lados).
Mike Schall
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Para ampliar la respuesta de Ben, me remito a un artículo anterior que contiene muchos más detalles: ici . El tema de los grupos compactos es antiguo y está bien estudiado, así que hay muchas referencias para elegir, incluso la Wikipedia quizás. De todos modos, es bueno navegar primero por las entradas más antiguas de los grupos de Lie en MO.
P.D.: Esta "respuesta" complementaria es en realidad una sugerencia de que la pregunta está demasiado cerca del post anterior que he citado como para calificarla de pregunta nueva. Los libros de texto de este tipo exigen más referencias que debates.
Anthony
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Me gustaría añadir lo siguiente:
Creo que la fuente de confusión es el hecho de que la forma de Killing es no degenerada (para grupos de Lie semisimples) y definida negativa (más fuerte que no degenerada) para grupos de Lie compactos con centro trivial
$SL(2)$ es semi-simple pero no compacto.
El toroide $S^1$ es compacto pero no semisimple (abeliano).
Los grupos compactos son reductores y semisimples sólo en el caso de centro trivial.
