Demostrar que existe una función de $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ infinitamente diferenciable.

Question

Demostrar que existe una función de $f:\mathbb{R}\rightarrow \mathbb{R}$ infinitamente diferenciable, tal que

$$\int_{\mathbb{R}}f(t)\,dt=1\;\mbox{ and }\; \int_{\mathbb{R}}t^nf(t)dt=0,\, \forall\, n\geq 1\; \mbox{integer}.$$

Algunas ideas? Gracias.

Answer 1

Elija $\phi\in C_c^\infty (\Bbb{R})$ $\phi \equiv 1$ en un barrio de $0$.

Deje $f=\mathcal{F}^{-1}(\phi)$ ser la inversa de la transformada de Fourier de $\phi$.

A continuación,$\int f \,dx =\mathcal{F}(0)=\phi(0)=1$.

Además, $$ \int t^n f(t)\,dt = c_n \frac{\partial^n}{\partial x^n}\mathcal{F}(f)(0)= c_n \frac{\partial^n}{\partial x^n}\phi(0) =0 $$ para algunas constantes $c_n \in \Bbb{C}$.

EDIT: Ya que usted desee $f$ a ser un valor real, usted tiene que hacer una de dos cosas:

1) Tome $\phi$ a ser real valorados y simétrica (es decir, $\phi(-x) = \phi(x)$ todos los $x$), o

2) considerar la parte real ${\rm Re}(f)$ en lugar de $f$ sí.