Un primer curso de topología algebraica, al menos los que conozco, generalmente lleva a los estudiantes a un punto en el que pueden calcular la homología de inmediato. La construcción de la teoría que la sustenta se deja generalmente para el grueso del curso, en términos de definición de la homología singular, demostración de los axiomas más difíciles de Eilenberg-Steenrod, cadenas celulares y todo lo necesario para mostrar que el resultado es esencialmente independiente de las definiciones. A continuación, un segundo curso suele abordar el tema de la teoría de la homotopía propiamente dicha, que es más difícil de aprender y a menudo más difícil de motivar.
Esto tiene algunas desventajas, por ejemplo, deja muy lejos la discusión de los espacios de Eilenberg-Maclane y el correspondiente estudio de las operaciones de cohomología. Sin embargo, hace llegar la maquinaria útil directamente a las personas que son consumidoras de la teoría en lugar de buscar investigarla a largo plazo.
Muchas de las referencias más recientes (por ejemplo, el nuevo texto de Tom Dieck) parecen adoptar el punto de vista de que, desde un punto de vista estrictamente lógico, lo primero es una base sólida en la teoría de la homotopía. Nunca he visto un curso impartido de esta manera y no estoy seguro de conocer a alguien que lo haya hecho, pero a menudo me lo he preguntado.
Así que la pregunta es:
¿Alguien ha enseñado, o le han enseñado, un curso de posgrado en topología algebraica que haya estudiado primero la teoría de la homotopía? ¿Qué partes del mismo han tenido éxito o no?
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En Alemania parece ser común enseñar la primera homotopía ( $\pi_1$ ) antes de la homología. No sé si esto es bueno o malo; me estoy perdiendo alguna aplicación particularmente fascinante de $\pi_1$ . Pero supongo que no quieres $\pi_1$ sólo. En cuanto a $\pi_n$ , tal y como me lo han enseñado, es muy difícil de calcular, y las pocas cosas que se pueden decir sobre él requieren experiencia con complejos CW (aproximación CW, ya necesaria para demostrar que los grupos de homotopía pequeños de esferas grandes son cero) y/u homología (para usar el teorema de Hurewicz), así que no parece un candidato natural para ...
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... un primer plato. Pero con mucho gusto me dejaría sorprender
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Creo que la elección de Grupo Fundamental, luego Homología y luego Homotopía está motivada por la geometricidad de $\pi_1$ es una construcción bastante fácil que se motiva con suficiente facilidad a partir de la situación geométrica que hace que los argumentos topológicos sean rápidamente accesibles.
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Creo que el grupo fundamental antes que la homología es bastante estándar en todas partes. Pero, como Jose afirma más adelante, el grupo fundamental por sí solo está muy lejos del resto de lo que se llama teoría de la homotopía.
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También he oído hablar de la sólo homotopía enfoque. Una vez oí que todo (incluida la homología) es sólo homotopía, pero ni siquiera pretendo entender lo que esto significa.
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¿Dónde has oído hablar de esto? Me interesaría mucho leer sobre ello.
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Bueno, el concepto de homotopía en sí mismo -si se omiten las cuestiones categóricas más profundas y la maquinaria- es bastante sencillo: se trata simplemente de una clase de mapas continuos de equivalencia. El movimiento para hacer de la homotopía el concepto primario de la topología ha estado en marcha desde las construcciones algebraicas de Quillen y Sullivan en la década de 1960. Un enfoque más elemental con el mismo objetivo ha sido defendido por la llamada escuela de "Bangor", liderada por Higgins y más tarde por Ronald Brown en su famoso texto de topología (que todo el mundo debería leer, por cierto). Este enfoque se centra en el groupiod, una generalización categórica de los grupos.
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Por cierto, dentro de dos semanas publicaré una reseña del libro de Tom Dieck en el sitio web de MAA.
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Mi primer paso por la topología algebraica fue la homotopía. Eran apuntes de clase, no de un libro. El libro más cercano en la literatura sería el de Peter May, supongo.
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Mi primer curso de topología algebraica fue sobre ambos homotopía y homología ¡al mismo tiempo! Lo impartieron dos profesores, uno de ellos centrado en la homología y el otro (tom Dieck) introduciendo la homotopía. Me gustó, era como si dos historias simultáneas acabaran encontrándose.