Cursos de topología algebraica "primero la homotopía".

Question

Un primer curso de topología algebraica, al menos los que conozco, generalmente lleva a los estudiantes a un punto en el que pueden calcular la homología de inmediato. La construcción de la teoría que la sustenta se deja generalmente para el grueso del curso, en términos de definición de la homología singular, demostración de los axiomas más difíciles de Eilenberg-Steenrod, cadenas celulares y todo lo necesario para mostrar que el resultado es esencialmente independiente de las definiciones. A continuación, un segundo curso suele abordar el tema de la teoría de la homotopía propiamente dicha, que es más difícil de aprender y a menudo más difícil de motivar.

Esto tiene algunas desventajas, por ejemplo, deja muy lejos la discusión de los espacios de Eilenberg-Maclane y el correspondiente estudio de las operaciones de cohomología. Sin embargo, hace llegar la maquinaria útil directamente a las personas que son consumidoras de la teoría en lugar de buscar investigarla a largo plazo.

Muchas de las referencias más recientes (por ejemplo, el nuevo texto de Tom Dieck) parecen adoptar el punto de vista de que, desde un punto de vista estrictamente lógico, lo primero es una base sólida en la teoría de la homotopía. Nunca he visto un curso impartido de esta manera y no estoy seguro de conocer a alguien que lo haya hecho, pero a menudo me lo he preguntado.

Así que la pregunta es:

¿Alguien ha enseñado, o le han enseñado, un curso de posgrado en topología algebraica que haya estudiado primero la teoría de la homotopía? ¿Qué partes del mismo han tenido éxito o no?

Answer 1

Si el "primer curso" está destinado a ser tomado por todos los estudiantes de matemáticas puras Entonces, creo que la teoría de la homotopía no tiene cabida allí; no veo cómo el aprendizaje de los grupos de homotopía de las esferas, los espacios de Eilenberg-MacLane o la teoría de la obstrucción podría beneficiar a quienes no están interesados en la topología en sí.

Si, por el contrario, el público está formado por estudiantes de geometría/topología, entonces puede (y debe) enseñarse teoría de homotopía sustancial. Mis favoritos son los textos de Fuchs-Fomenko y May.

Answer 2

Como estudiante de posgrado me enseñaron primero la homotopía (incluidos los grupos de homotopía superiores), luego la homología singular y después la cohomología. El instructor era bastante bueno, pero ahora siento que el orden de presentación estaba al revés.

Creo que empezar con la homotopía está bien siempre que te quedes en dimensiones bajas, pero de lo contrario degenera en tonterías algebraicas. Recomiendo encarecidamente el libro de Stillwell Topología clásica y teoría de grupos combinatorios donde adopta este enfoque.

Editar: No soy topólogo. Probablemente estoy más lejos de ser un topólogo que las personas que han dejado renuncias similares.

Answer 3

Descargo de responsabilidad : No soy topólogo.

Me enseñaron la teoría básica de la homotopía (grupo fundamental, van Kampen, pero no estoy seguro de los grupos de homotopía superiores, eso podría haber sido en otro lugar) al final de un curso de postgrado de topología de conjuntos de puntos basado en la obra de Munkres Topología: un primer curso . Como comenta Mikael más arriba, $\pi_1$ Al ser tan geométrica, puede enseñarse sin necesidad de la maquinaria de topología algebraica estándar. Por supuesto, $\pi_1$ está muy lejos de la teoría de la homotopía, que requiere mucha más tecnología.

Answer 4

Después de un primer curso de topología general impartido por otra persona, y que terminó con la introducción de $\pi_1$ y la teoría de coberturas (ya se ha mencionado que esto es típico en Alemania), hace poco empecé un curso de dos semestres sobre topología algebraica.

En lugar de hacer una teoría de homotopía completa desde el principio, introduje primero los grupos de homotopía superior, y después de demostrar Blakers-Massey, obtuve todas las aplicaciones típicas con bastante rapidez (teorema del punto fijo de Brouwer, etc.). Los siguientes temas fueron los grupos de homotopía estables, luego la homología desde un punto de vista axiomático, más tarde realizada como homología espectral. A esto le siguieron más cosas con las que no quiero aburrirte. Lo malo fue que al final el tiempo fue demasiado corto para una introducción completa de $K$ -teoría y bordismo, donde se podría haber explotado toda la maquinaria construida hasta ese momento.

¿Mis experiencias? Sin duda aprendí mucho, y algunos de los estudiantes también. El camino hacia las aplicaciones lleva un poco más de tiempo, pero no tanto. Hay que aprender más técnicas, pero éstas son "geométricas" más que "algebraicas", lo que personalmente me gusta. La motivación para introducir la homología y la cohomología es diferente, y quizá no tan fuerte como en otros enfoques. Como recompensa, algunos teoremas difíciles se vuelven muy fáciles (el teorema de Hurewicz tiene una demostración de dos líneas si se conocen algunos datos básicos sobre el espectro de Eilenberg-Mac Lane). Otros teoremas se vuelven realmente difíciles, o hay que restringirlos a los complejos CW como solución (fórmula de Künneth, coeficientes universales).

Supongo que enseñaré mi próximo curso de topología (quizá sólo dentro de unos años) utilizando el mismo enfoque, pero un poco más racionalizado. Sigo creyendo que es más fácil aprender la homología singular simplicial en una fase posterior (en la que uno es capaz de apreciar la fuerza del método simplicial) que aprender la teoría de la homotopía después de la teoría simplicial (con la sensación de que uno lo ha tenido casi todo y ahora necesita mucha más técnica para muy pocas aplicaciones adicionales).

Answer 5

Este enfoque no es nuevo. Véase el libro de Gray, Homotopy theory, Academic Press. No soy un experto en topología (mi área de investigación son las ecuaciones diferenciales y las funciones especiales) pero creo que Gray fue alumno de Steenrod y la idea del primer enfoque de homotopía se originó con Steenrod, lo que motivó a Gray a escribir su libro. O esto es lo que recuerdo haber leído.

El libro de Gray es excelente en su estilo de presentación y su tratamiento del teorema de Blakers Massey debido a Brodmann en la década de 1960. Pruebas más sencillas fueron dadas por Dieck, Kamps Puppe en sus notas de conferencia de Springer en Math. Está en alemán pero muy lúcido. El material aparece ahora en el libro Topologie de Tom Dieck Walter De Gryuter que creo que es más sencillo de leer que su libro de Topología Algebraica de la serie EMS. Todos los libros de Tom Dieck son magníficamente claros y la escritura es extremadamente reflexiva. Estos libros también adoptan el enfoque Homotopy first.

Espero que estas indicaciones ayuden.

Feliz lectura Gopala Krishna Srinivasan (IIT Bombay)