Participé intensamente en un curso de posgrado de este tipo en 2006 en la UC Berkeley.
Empezamos con un poco de topología de conjuntos de puntos introduciendo la categoría de espacios generados de forma compacta. Luego pasamos a la teoría de la homotopía propiamente dicha. Cubrimos los complejos CW y todos los grupos fundamentales, el teorema de Van-Kampen, etc. A partir de esto se pueden demostrar algunos buenos teoremas clásicos, como el Teorema Fundamental del Álgebra, el Teorema del Punto Fijo de Brauwer, el Teorema de Borsuk-Ulam, y que $R^n \neq R^m$ para $n \neq m$ . Me ha parecido que esta parte del curso ha ido bastante bien y es lo suficientemente geométrica como para ser apta para un curso de postgrado de primer nivel (¡se pueden hacer muchos dibujos!).
Llegados a este punto, se puede tomar el rumbo en un par de direcciones diferentes, todas las cuales parecen tener sus propias desventajas y problemas. El principal problema es la falta de tiempo. Una dirección muy natural es discutir la teoría de la obstrucción, ya que se basa en las mismas ideas y construcciones cubiertas hasta ahora. Sin embargo, esto no es posible, ya que los estudiantes no han visto la homología o la cohomología en este momento.
En su lugar, discutimos un poco las largas secuencias exactas que se obtienen de las fibraciones y cofibraciones. Podrías entonces tratar de llevar a la definición de cohomología como clases de homotopía de mapas en un $K(A,n)$ . Pero esta definición es bastante abstracta y no muestra una de las principales características de la homología/cohomología: Es extremadamente computable. Aun así, podría imaginar un curso en el que se intentara desarrollar la homología y la cohomología desde este punto de vista y que condujera a la homología CW y a los axiomas de Eilenberg-Steenrod.
Otra dirección que se puede tomar es la teoría de los haces de fibras (esto es lo que hemos intentado). La parte de la teoría del espacio de cobertura funciona bastante bien y tienes todas las herramientas a tu disposición. Sin embargo, cuando quieres hacer teoría de haces de fibras en general, puede ser difícil. Un objetivo natural es la construcción de espacios clasificatorios y el teorema de representabilidad de Brown. El problema es que la invariancia de la homotopía de los haces de fibras no es trivial. Hay que esperar que se dedique una buena cantidad de tiempo a esto. Realmente es más adecuado para un segundo curso de topología algebraica.
El principal problema con todos estos enfoques es que es difícil cubrir la sección de teoría de la homotopía y aún así tener suficiente tiempo para cubrir la homología/cohomología adecuadamente. Se sabe que esto tiene que ser así, ya que es difícil hacer lo contrario: cubrir la homología y la cohomología, y aún así tener suficiente tiempo para cubrir la teoría de la homotopía adecuadamente.
Lo que esto significa es que se encontrará en la situación ligeramente desagradable de tener un grupo de estudiantes que han tomado un primer curso de topología algebraica, pero que no saben realmente sobre homología o cohomología. Esto está bien si sabes que estos estudiantes van a tomar un segundo semestre de topología algebraica. Entonces se pueden arreglar las lagunas. Sin embargo, en mi experiencia esto no es una expectativa realista. Como bien sabes, lo normal es que haya algunos estudiantes que acaben por no estar interesados en la topología algebraica y se dediquen al análisis o a la geometría algebraica o algo parecido. O puede que haya estudiantes de segundo o tercer año en otros campos de las matemáticas y que tomen su curso para aprender más sobre homología y cohomología. Un curso centrado en la "homotopía primero" les haría un flaco favor.
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En Alemania parece ser común enseñar la primera homotopía ( $\pi_1$ ) antes de la homología. No sé si esto es bueno o malo; me estoy perdiendo alguna aplicación particularmente fascinante de $\pi_1$ . Pero supongo que no quieres $\pi_1$ sólo. En cuanto a $\pi_n$ , tal y como me lo han enseñado, es muy difícil de calcular, y las pocas cosas que se pueden decir sobre él requieren experiencia con complejos CW (aproximación CW, ya necesaria para demostrar que los grupos de homotopía pequeños de esferas grandes son cero) y/u homología (para usar el teorema de Hurewicz), así que no parece un candidato natural para ...
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... un primer plato. Pero con mucho gusto me dejaría sorprender
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Creo que la elección de Grupo Fundamental, luego Homología y luego Homotopía está motivada por la geometricidad de $\pi_1$ es una construcción bastante fácil que se motiva con suficiente facilidad a partir de la situación geométrica que hace que los argumentos topológicos sean rápidamente accesibles.
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Creo que el grupo fundamental antes que la homología es bastante estándar en todas partes. Pero, como Jose afirma más adelante, el grupo fundamental por sí solo está muy lejos del resto de lo que se llama teoría de la homotopía.
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También he oído hablar de la sólo homotopía enfoque. Una vez oí que todo (incluida la homología) es sólo homotopía, pero ni siquiera pretendo entender lo que esto significa.
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¿Dónde has oído hablar de esto? Me interesaría mucho leer sobre ello.
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Bueno, el concepto de homotopía en sí mismo -si se omiten las cuestiones categóricas más profundas y la maquinaria- es bastante sencillo: se trata simplemente de una clase de mapas continuos de equivalencia. El movimiento para hacer de la homotopía el concepto primario de la topología ha estado en marcha desde las construcciones algebraicas de Quillen y Sullivan en la década de 1960. Un enfoque más elemental con el mismo objetivo ha sido defendido por la llamada escuela de "Bangor", liderada por Higgins y más tarde por Ronald Brown en su famoso texto de topología (que todo el mundo debería leer, por cierto). Este enfoque se centra en el groupiod, una generalización categórica de los grupos.
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Por cierto, dentro de dos semanas publicaré una reseña del libro de Tom Dieck en el sitio web de MAA.
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Mi primer paso por la topología algebraica fue la homotopía. Eran apuntes de clase, no de un libro. El libro más cercano en la literatura sería el de Peter May, supongo.
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Mi primer curso de topología algebraica fue sobre ambos homotopía y homología ¡al mismo tiempo! Lo impartieron dos profesores, uno de ellos centrado en la homología y el otro (tom Dieck) introduciendo la homotopía. Me gustó, era como si dos historias simultáneas acabaran encontrándose.