¿Puede el conjunto de Cantor ser el conjunto cero de una función continua?

Question

Más generalmente, ¿puede el conjunto cero $V(f)$ de una función continua $f : \mathbb{R} \to \mathbb{R}$ no ser denso en ninguna parte e incontable? ¿Y si $f$ ¿es suave?

Hace unos días descubrí que en esta prueba en la que estoy trabajando, he asumido implícitamente que $V(f)$ tiene que ser contable si no es denso en ninguna parte - de ahí esta pregunta.

Answer 1

La función continua es muy fácil de construir: es la distancia al conjunto cerrado.

Answer 2

Es un resultado estándar que cada subconjunto cerrado de $\mathbb{R}^n$ es un conjunto cero de alguna función suave sobre $\mathbb{R}^n$ . Esto se demuestra utilizando funciones de protuberancia suaves y particiones de la unidad.

Answer 3

He aquí una construcción semiexplícita para una función suave f que es cero precisamente en el conjunto clásico de Cantor. Con este conjunto me refiero al que se obtiene de $I_0 = [0,1]$ eliminando repetidamente el tercio medio de cualquier intervalo siguiente. Así, denotamos por $I_n$ el $n$ -en este proceso.

Ahora hagamos una función suave $f_n$ en $[0,1]$ tal que su conjunto cero es exactamente $I_n$ . A partir de $f_0 = 0$ obtenemos $f_{n+1}$ de $f_n$ de la siguiente manera:

Set $f_{n+1} = f_n$ en $I_{n+1}$ y en un intervalo que se aleja de $I_n$ hacer $f_{n+1}$ igual a una función de bache que es 0 sólo en el límite del intervalo. Podemos elegir que la función de protuberancia sea de altura $2^{-2^n}$ .

Esta elección de las alturas de las funciones de choque garantizará que las derivadas de $f$ convergen uniformemente a sus límites puntuales. Por lo tanto, la función límite $f_n$ es de nuevo suave. Por construcción su conjunto cero es exactamente el conjunto de Cantor.

Answer 4

En un espacio topológico normal, los conjuntos cero de las funciones continuas son precisamente los conjuntos cerrados $G_{\delta}$ conjuntos. Por tanto, en cualquier espacio métrico todos los conjuntos cerrados lo son, incluido el conjunto de Cantor.

Answer 5

No puedo resistirme a intentar esbozar una prueba del resultado general dado en la respuesta de Robin Chapman. Sea $F\subset\mathbb{R}^n$ sea un conjunto cerrado cualquiera. Sea $E_0=\{x\colon\operatorname{dist}(x,F)\ge1\}$ y para $k=1,2,\ldots$ dejar $E_k=\{x\colon2^{-k}\le\operatorname{dist}(x,F)\le2^{1-k}\}$ . Sea $\omega$ sea un moledor estándar, y ponga $$f=\sum_{k=0}^\infty \alpha_k\chi_{E_k}*\omega_k,\qquad\omega_k(y)=2^{nk}\omega(2^ky),$$ donde $\alpha_k>0$ decae lo suficientemente rápido como para que todas las derivadas converjan uniformemente ( $\alpha_k=2^{-k^2}$ debería ser suficiente).