He aquí una construcción semiexplícita para una función suave f que es cero precisamente en el conjunto clásico de Cantor. Con este conjunto me refiero al que se obtiene de $I_0 = [0,1]$ eliminando repetidamente el tercio medio de cualquier intervalo siguiente. Así, denotamos por $I_n$ el $n$ -en este proceso.
Ahora hagamos una función suave $f_n$ en $[0,1]$ tal que su conjunto cero es exactamente $I_n$ . A partir de $f_0 = 0$ obtenemos $f_{n+1}$ de $f_n$ de la siguiente manera:
Set $f_{n+1} = f_n$ en $I_{n+1}$ y en un intervalo que se aleja de $I_n$ hacer $f_{n+1}$ igual a una función de bache que es 0 sólo en el límite del intervalo. Podemos elegir que la función de protuberancia sea de altura $2^{-2^n}$ .
Esta elección de las alturas de las funciones de choque garantizará que las derivadas de $f$ convergen uniformemente a sus límites puntuales. Por lo tanto, la función límite $f_n$ es de nuevo suave. Por construcción su conjunto cero es exactamente el conjunto de Cantor.