¿Cuál de los siguientes grupos contiene un único subgrupo normal de orden $4$ ?

Question

¿Cuál de los siguientes grupos contiene un único subgrupo normal de orden $4$ ?

1. $Z_2\oplus Z_4$

2. $D_8$

3. $Q_8$

4. $Z_2\oplus Z_2\oplus Z_2$

$\{0\}\oplus Z_4$ es un subgrupo normal de $1$ ? No tengo ni idea de $2,3$ . En $4$ tenemos $Z_2\oplus Z_2\oplus \{0\}$ ¿Será normal? Creo que sí. Gracias por la discusión.

Answer 1

Nótese que las opciones (1) y (4) están descartadas, ya que ambas son abelianas y contienen múltiples subgrupos de orden 4; $0 \oplus \mathbb{Z}_4$ y $\mathbb{Z}_2 \oplus \langle 2 \rangle$ en el primer caso, y $\mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus 0$ y $0 \oplus \mathbb{Z}_2 \oplus \mathbb{Z}_2$ en el segundo.

También, $Q_8$ está fuera, ya que contiene tres subgrupos de orden 4, todos ellos normales (cada uno tiene índice $2$ ). En concreto, los subgrupos son $\{\pm 1, \pm i\}$ y las opciones similares para $j$ y $k$ . Obsérvese que también son los subgrupos cíclicos generados por elementos de orden $4$ .

Answer 2

Esta pregunta es del examen GATE (el examen de acceso al doctorado en la India). Esta pregunta en particular fue marcada posteriormente como incorrecta, es decir, en las claves de respuestas del examen GATE de ese año, la respuesta correcta para este problema se indicaba como "Cualquier combinación". La razón es que se supone que al menos una respuesta es correcta (puede haber varias respuestas correctas en GATE). Mientras que este problema tiene 0 respuestas correctas. Desde este punto de vista, se trata de un problema excepcional (quizás algo así como 1 problema en 10 años de exámenes GATE).

El examen GATE suele poner a prueba tus conocimientos sobre hechos concretos. Tienes que resolver algo así como 65 problemas y obtener 100 puntos en 3 horas, por lo que literalmente tienes unos 1-2 minutos para cada punto. Los problemas como este son de 1 punto, ya que no requieren que uno haga ningún cálculo largo que requiera más de 1-2 minutos. Y si conoces ciertos datos, todos los problemas de 1 punto son bastante fáciles, pero si no los conoces, la mayoría te llevaría más de 10 minutos resolverlos, y simplemente no tienes ese tiempo.

En este problema en particular, las cosas que hay que saber son:

• Todos los grupos presentados son de orden 8. Las anotaciones se dan en una de las primeras páginas de cada examen, por lo que $D_8$ es inequívoco.
• Un subgrupo de orden 4 de un grupo de orden 8 tiene índice 2.
• Todo subgrupo de índice 2 es normal, así que a partir de este punto simplemente ignoramos el requisito de normalidad, y buscamos subgrupos únicos de orden 4.
• Si H_i son subgrupos de G_i entonces la suma directa de H_i es un subgrupo de la suma directa de G_i, y su orden es el producto de los órdenes de H_i. Por tanto, en (1) y (4) podemos construir varios subgrupos de orden 4.
• En (3), $Q_8$ tiene varias "unidades imaginarias", cada una de las cuales genera un subgrupo de orden 4: $i^2=-1 \implies \{i,-1,-i,1\}$ y de forma similar para $j$ y $k$ .

En este punto, en un examen GATE típico deberías detenerte y marcar (2) como la única respuesta posible. Por lo tanto, puedes ver que 1-2 minutos son más que suficientes, siempre que conozcas todos estos datos. Y, si no sabes, por ejemplo, que un subgrupo de índice 2 es necesariamente normal, estás en un gran problema.

Sin embargo, y este es el problema de esta pregunta, (2) también es incorrecta.

• En $D_8$ son la identidad, las tres rotaciones (no nulas) y las cuatro reflexiones en torno a los cuatro ejes de simetría (las dos diagonales y las dos líneas centrales). Dos rotaciones son de orden 4, y generan el mismo subgrupo de orden 4. La otra rotación (por 180 grados) es de orden 2, al igual que las reflexiones, por lo que podemos combinar al menos algunas de ellas (por ejemplo, la rotación por 180 grados y una reflexión diagonal) para formar un subgrupo de orden 4 (en este caso particular, tanto la rotación por 180 grados, como la reflexión diagonal elegida pueden desplazar cada vértice al opuesto solamente, por lo que tenemos 4 combinaciones posibles de la disposición de los vértices).

Sólo quería mencionar de dónde viene este problema, qué tipo de habilidades y tiempo para resolver tales problemas requieren, y también el problema específico de éste.