Relación entre XOR y diferencia simétrica

Question

Me he dado cuenta de que XOR y la diferencia simétrica utilizan el mismo símbolo, $\oplus$ .

También parecen tener una estructura similar:

XOR: $(Q \wedge \neg P)\vee(P\wedge \neg Q)$

Diferencia simétrica: $(A\cap B^C)\cup(B\cap A^C)$

¿Hay alguna relación entre ellos?

Answer 1

Sí, lo hay. Deja que $A\;\triangle\; B$ denotan la diferencia simétrica de los conjuntos $A$ y $B$ . Dado un objeto $x$ , $$x\in A\;\triangle\; B\iff (x\in A)\text{ XOR }(x\in B).$$ En general, se tiene una correspondencia entre los enunciados de la teoría de conjuntos y los enunciados de la lógica, por ejemplo $$x\in A\cup B\iff (x\in A)\text{ OR }(x\in B)$$ $$x\in A\cap B\iff (x\in A)\text{ AND }(x\in B)$$ $$x\in A^c\iff\text{NOT }(x\in A)$$

Así, por ejemplo, $A\setminus B=A\cap B^c$ Así que $$x\in A\setminus B\iff x\in A\cap B^c\iff(x\in A)\text{ AND }(x\in B^c)\iff (x\in A)\text{ AND }(\text{NOT }(x\in B))$$