Demostrando que $f(x)=1$ si $x=\frac{1}{n}$ , $0$ si no, en [0,1] es integrable de Riemann

Question

Tengo que demostrar que la siguiente función $f:[0,1]\rightarrow\mathbb{R}$ es integrable de Riemann:

$$f(x) = \left\{ \begin{array}{ll} 1 & \mbox{if } x = \frac{1}{n} \\ 0 & \mbox{otherwise} \end{array} \right.$$

Para la suma superior e inferior de Riemann utilizo las siguientes definiciones:

$$S_{l}(f,V)=\sum^{n}_{j=1}\inf_{I(j)}(f)(x_j-x_{j-1})$$

Con $I(j)$ que denota el intervalo $[x_{j-1},x_j$ ] y $V$ es una partición $V=\{0,x_1,...,1\}$ . La suma superior se define con el supremum. He demostrado que para cualquier partición en $[0,1]$ la suma inferior es $0$ . Pero ahora necesito probar que para cada $\epsilon>0$ hay una partición $V$ tal que $S_{u}(f,V)<\epsilon$ . Completar la prueba es fácil. Veo que cualquier partición en $[0,1]$ sólo contendrá un número limitado de puntos del conjunto $\{\frac{1}{n}:n\in\mathbb{N}\}$ . Pero no puedo concretar la prueba. ¿Podría alguien ayudarme?

Answer 1

Prueba lo siguiente:

El conjunto $F=\{x\in [0,1]: f(x)>\epsilon \}$ es finito para cada $\epsilon>0$ . Entonces se puede formar una partición tal que si un intervalo contiene algún $x\in F$ entonces no tiene otra. Finalmente se puede elegir la partición tal que la suma del intervalo que contiene algún $x\in F$ es $<\epsilon$ . Separe el intervalo que cubre $F$ y las que no.

¿Puede continuar a partir de esto?

Answer 2

Tienes la idea correcta. Se trata de los tecnicismos. Una posible configuración de la partición es la siguiente.

Por cada $\epsilon>0$ existe un número entero $N_0$ tal que $1/N_0<\epsilon$ . Sea $N=\max\{N_0,5\}$ .

Partición $[0,1]$ con $V=\{0,x_1, x_2,\ldots,x_{4N-5}\}$ donde $x_1=\frac{1}{2N}$ , $x_{4N-5}=1$ , $x_{2k+1}-x_{2k}=\frac{1}{N^3}$ y $x_{2k}<\frac{1}{2N-k}<x_{2k+1}$ .

Entonces, $$S_u(f,V)= 1\cdot \frac{1}{2N} + \frac{1}{N^3} \cdot (2N-1)<\frac{1}{2N}+\frac{2N}{N^3}=\frac{1}{2N}+\frac{2}{N^2}$$ .

Desde $N\ge 5$ , $\frac{2}{N^2}<\frac{1}{2N}$ . Por lo tanto, $S_u(f,V)<\frac{1}{N}<\epsilon$ .