El cambio de la fase relativa de dos fotones en una interferencia de Hong-Ou-Mandel produce el anti-bunching?

Question

¿Qué ocurre con la salida de un divisor de haz cuando se cambia la fase relativa entre dos fotones que entran por los dos puertos de entrada?

En Interferencia de Hong-Ou-Mandel para un beamsplitter de la forma, donde represento mis salidas como $b^\dagger_1$ y $b^\dagger_2$ :

$$ \begin{equation*} \left(\begin{array}{cc} \hat{b}^\dagger_1\\ \hat{b}^{\dagger}_2 \\ \end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc} 1 & -1 \\ 1 & 1 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} a^\dagger_1 \\ a^\dagger_2 \\ \end{array}\right) \end{equation*} $$

lo que implica que las entradas tienen la relación $$ \begin{equation*} \left(\begin{array}{cc} \hat{a}^\dagger_1\\ \hat{a}^{\dagger}_2 \\ \end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc} 1 & 1 \\ -1 & 1 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} b^\dagger_1 \\ b^\dagger_2 \\ \end{array}\right) \end{equation*} $$

con una entrada de $|1, 1\rangle = a^\dagger_1 a^\dagger_2 |0, 0\rangle = \frac{1}{\sqrt{2}}(b^\dagger_1+b^\dagger_2)\frac{1}{\sqrt{2}}(-b^\dagger_1+b^\dagger_2)= \frac{1}{2}(-b^\dagger_1 b^\dagger_1-b^\dagger_2b^\dagger_1 +b^\dagger_1 b^\dagger_2+b^\dagger_2 b^\dagger_2) = \frac{1}{2}(-b^\dagger_1 b^\dagger_1+b^\dagger_2 b^\dagger_2)$

Esta matemática, para mí, sugiere que la "interferencia de dos fotones" resultante es invariante a la fase relativa entre los dos campos. Es decir, si añado una fase $e^{i \phi}$ a uno de mis $a^\dagger$ modos, simplemente se lleva a cabo todo el proceso como una fase global, sin producir interferencias:

$|\tilde{1}, 1\rangle = \left(a^\dagger_1 e^{i \theta}\right) a^\dagger_2 |0, 0\rangle = e^{i \theta}(-b^\dagger_1 b^\dagger_1+b^\dagger_2 b^\dagger_2)$

Esta fase no cambia el hecho de que los fotones $|1, 1\rangle$ Los estados interfieren destructivamente. Pensé que este hecho está en consonancia con la intuición general de que "los fotones no tienen fases bien definidas'' porque, en general, los estados Fock puros suelen perder cualquier fase que se les dé a menos que se cree una fase relativa (por ejemplo, poniendo un estado Fock en un interferómetro Mach-Zehnder).

Pero esta conclusión parece estar en contradicción con este documento que dice que añadiendo una fase relativa al par de fotones se acaba cambiando la interferencia, permitiendo alternar entre el bunching y el antibunching en función de la fase.

En este artículo dicen que se puede pensar en el resultado como una especie de interferómetro Mach-Zehnder post-seleccionado. Si el primer fotón se encuentra en el detector 1, significa que el segundo fotón se comporta como si estuviera en un interferómetro Mach-Zehnder, y en consecuencia puede dirigirse a cualquiera de los dos detectores cambiando la fase relativa entre las trayectorias. Para citar:

Entonces, ¿qué es exactamente lo que falla en este tratamiento anterior?

Answer 1

No sé si esto ayudará, ya que no comprendo del todo la forma en que el periódico está modelando la situación, pero así es como yo lo describiría.

La cuestión es que queremos estudiar qué ocurre con la interferencia de muchos cuerpos cuando los fotones dejan de ser indistinguibles. En este caso, dejan de ser (completamente) indistinguibles debido a las diferencias en sus funciones de onda.

En otras palabras, el estado de dos fotones que se inyecta en el interferómetro tiene la forma $a^\dagger_{A,\psi}a^\dagger_{B,\phi},$ où $|\psi\rangle$ y $|\phi\rangle$ son las funciones de onda de los fotones, y $A,B$ denotan las dos entradas del interferómetro (y omitimos el estado de vacío sobre el que actúan estos operadores por brevedad notacional). Si los dos fotones son indistinguibles, entonces $\psi=\phi$ y el estado puede escribirse de forma más sencilla como $a^\dagger_A a^\dagger_B$ . Al evolucionar esto a través del beamsplitter se obtiene el efecto HOM habitual, etc.

Sin embargo, ¿qué pasa si las funciones de onda de los fotones no son idénticas, o si los fotones son distinguibles por cualquier otro medio ( Por ejemplo por su hora de llegada al interferómetro)? En general, podemos describir este tipo de situación escribiendo $$|\phi\rangle = \alpha|\psi\rangle + \beta|\psi_\perp\rangle,$$ où $|\alpha|^2+|\beta|^2=1$ y $|\psi_\perp\rangle$ es un estado ortogonal a $|\psi\rangle$ . El estado de entrada es entonces $$a^\dagger_{A,\psi}(\alpha \,a^\dagger_{B,\psi}+\beta \,a^\dagger_{B,\psi_\perp}) = \alpha\, a^\dagger_{A,\psi} a^\dagger_{B,\psi} + \beta \,a^\dagger_{A,\psi}a^\dagger_{B,\psi_\perp}.$$ Evolucionando a través del interferómetro, el primer término da el HOM habitual, mientras que el segundo término se comporta como dos distinguible fotones. Al sintonizar el solapamiento entre $|\phi\rangle$ y $|\psi\rangle$ , es decir por sintonía $\alpha$ y $\beta$ podemos ver la transición entre la distinguibilidad y la indistinguibilidad.

Answer 2

Intentemos trabajar hacia atrás.

$$\begin{aligned} |1, 1\rangle &= a^\dagger_1a^\dagger_2 |0, 0\rangle \\ &= \frac{b^\dagger_1+b^\dagger_2}{\sqrt{2}}~\frac{-b^\dagger_1+b^\dagger_2}{\sqrt{2}} |0, 0\rangle\\ &= \frac{1}{2}(-b^\dagger_1 b^\dagger_1-b^\dagger_2b^\dagger_1 +b^\dagger_1 b^\dagger_2+b^\dagger_2 b^\dagger_2) |0, 0\rangle \end{aligned}$$

La única forma de obtener una salida diferente al bunching es que los términos cruzados tengan una diferencia de fase que no se anule. La única manera de que esto suceda es si recogen una fase diferente entre los correspondientes $b_i^\dagger$ s que se originan en diferentes $a_j^\dagger$ s. Es decir: $$\frac{b^\dagger_1+b^\dagger_2}{\sqrt{2}}~\frac{-b^\dagger_1+b^\dagger_2}{\sqrt{2}} \to \frac{e^{i\phi}b^\dagger_1+b^\dagger_2}{\sqrt{2}}~\frac{-b^\dagger_1+b^\dagger_2}{\sqrt{2}} $$

Así que ahora la pregunta es cómo realizamos físicamente algo así. Recordemos que sólo obtenemos el agrupamiento cuando los fotones son indistinguibles. Así que esto nos lleva a pensar que los fotones son distinguibles. De hecho, el papel al que te refieres lo hace de forma inteligente. Lo distinguen en tiempo . Para uno de los fotones aplican un desplazamiento de fase de $\phi$ para la mitad del paquete de ondas aplicando una tensión de paso adecuada en el tiempo (en el pico del paquete). Para más detalles, consulte la figura 2 del documento.

Así que para la primera mitad no habrá recuento de coincidencias. Pero sí la habrá en la segunda mitad, dependiendo de la tensión aplicada. Para más detalles mira la figura 3 del documento.

Answer 3

Sospecho que el punto es que uno puede introducir un desplazador de fase adicional para que su matriz de dispersión sea ahora equivalente a una matriz de la forma $$ \begin{equation*} \left(\begin{array}{cc} \hat{a}^\dagger_1\\ \hat{a}^{\dagger}_2 \\ \end{array}\right) = \frac{1}{\sqrt{2}} \left(\begin{array}{cc} 1 & e^{i\phi} \\ -1 & 1 \\ \end{array}\right) \left(\begin{array}{cc} b^\dagger_1 \\ b^\dagger_2 \\ \end{array}\right) \end{equation*} $$ Aunque no conozco los detalles experimentales para producir dicho desplazamiento, sé que es posible obtenerlo ya que la matriz propuesta es $\in U(2)$ . Además, sigue siendo un dispositivo 50/50, ya que la transmitancia y la reflectancia son el mod-cuadrado de las entradas, y siguen siendo claramente ambas iguales a $1/2$ .

En cualquier caso, esto produce \begin{align} a_1^\dagger a_2^\dagger \to \frac{1}{2} \left(-b_1^\dagger b_1^\dagger + e^{i\phi} b_2^\dagger b_2^\dagger - e^{i\phi}b_1^\dagger b_2^\dagger + b_2^\dagger b_1^\dagger\right) \end{align} La detección de un fotón en cada puerto es entonces posible utilizando $\hat\Pi=\vert 11\rangle\langle 11\vert$ con probabilidad $$ P_{11}(\phi)= \frac{1}{2}\left(1-\cos(\phi)\right)=\sin^2(\phi/2) \, . \tag{A} $$ En particular para $\phi=0$ recuperamos el resultado de HOM para fotones indistinguibles.

Supongo que esto es equivalente a los estados de 1 fotón propuestos $\vert\tilde\Psi_{\pm} \rangle$ en el sentido de que estos estados de 1 fotón producen la misma prob. que (A).

Answer 4

La detección del primer fotón proyecta el estado de entrada en el estado de un fotón que está en el estado de superposición de ambos modos de entrada:

$\Psi_{det} = 1\sqrt{2}(\pm|1\rangle_2 +|1\rangle_1)$

donde la fase relativa viene dada por el detector en el que se detecta. Si ahora tomas este estado y lo propagas a través del beamsplitter, obtienes exactamente lo que describes, es decir, que el segundo fotón se detectará siempre en el mismo puerto de salida. Sin embargo, si cambias la fase del estado de entrada (y esto es lo que se hace con el EOM), por ejemplo

$\Psi_{det} = 1\sqrt{2}(\pm|1\rangle_2 + \exp(i \Delta_{\phi})|1\rangle_1)$

también puede cambiar el puerto de salida. Esto es básicamente lo mismo que en un experimento de interferencia de un solo fotón, donde se puede cambiar en qué puerto de salida se detecta cambiando la fase de los brazos en el interferómetro.

Edit: En el paper que enlazaste (el de la teoría) interfieren dos fotones con una frecuencia ligeramente diferente. Cambiando entonces el intervalo de tiempo entre los eventos de detección, se puede cambiar también el puerto de salida. Es la sección 3 del artículo (si no me equivoco). Eso se basa en el mismo efecto.