Demostrar que tenemos un isomorfismo del grupo generado por $1/x$ , $(x-1)/x$ al grupo simétrico $S_3$

Question

Demostrar que el grupo generado por $1/x$ , $(x-1)/x$ es isomorfo al grupo simétrico $S_3$ .

Lo que ya he hecho es generar los elementos $f \circ g=x/(x-1)$ , $g \circ f=1-x$ , $f^2=x$ , $f\circ g \circ f=1/(1-x)$ . Parece razonable asignar $\phi(1/x)=(12)$ y $\phi((x-1)/x)=(123)$ desde $(1/x)^2=x$ y $((x-1)/x)^3=x$ . Y a través de esto asignar a cada función una permutación.

Pero cómo demuestro que no puedo generar más elementos con las dos funciones base $1/x$ y $(x-1)/x$ ?

Answer 1

Llama al grupo $G$ . Demostrar que

$$\begin{align} \varphi:G&\to D_3,\\ (x-1)/x &\mapsto a,\\ 1/x &\mapsto b, \end{align}$$

define un isomorfismo entre $G$ y el grupo diédrico

$$D_3\cong\langle a,b\mid a^3, b^2, bab=a^{-1}\rangle$$

de orden seis. (Hacer esto podría implicar mostrar $G$ satisface las relaciones de la presentación, por lo que $|G|$ está limitada por encima por $|D_3|$ ya que $D_3$ se asignaría a $G$ .)

Utilice el hecho bien conocido de que $D_3\cong S_3$ .