Boceto de la solución de una ecuación diferencial

Question

$$x'=\begin{pmatrix} \frac{4}{3} && \frac{2}{3}\\\frac{1}{3}&&\frac{5}{3}\end{pmatrix}x$$

De esto obtengo que la solución (calculando los vectores propios + valores) es $\begin{pmatrix}a\\a\end{pmatrix}e^{2t}+\begin{pmatrix}2b\\-b\end{pmatrix}e^t$ .

En realidad, la pregunta era sólo esbozar la imagen de todas las soluciones. ¿Qué significa esto? ¿Puedo dibujar las soluciones sin calcular la solución con sólo ver la matriz?

¿Las soluciones son sólo líneas? Quiero decir que no sé lo que tengo que dibujar?

¿La idea es sólo sombrear el área entre las dos líneas $(1,1)t$ y $(2,-1)t$ ?

Answer 1

Podemos trazar un ejemplo representativo de todas las soluciones utilizando el retrato de fase.

A continuación, podemos trazar varias curvas de solución para distintas condiciones iniciales de su sistema sobre el retrato de fase.

Haciendo esto se obtiene (cada color representa una condición inicial diferente y hay 32 curvas IC representadas):

Answer 2

Si se elimina el término $e^t$ se obtiene una ecuación cartesiana de la forma $$(x-y)^2=\lambda(x+2y)$$

Se trata de una familia de parábolas inclinadas a $\frac{\pi}{4}$ a los ejes.