Derivada de una elipse

Question

Estoy en el último año de bachillerato y actualmente estoy estudiando sobre cónicas. Normalmente para obtener el centro de una elipse por ejemplo uso la forma canónica para obtener la siguiente forma $((x+k)/a)^2 + ((y+k)/b)^2=1$ entonces considere el $x+k$ y el $y+k$ en las coordenadas del centro. Mi profesor de Matemáticas nos mostró un método para encontrar este centro sin usar la forma canónica, simplemente usando derivadas sobre la forma inicial que es: $ax^2 +by^2 + cx + dy + f = 0$ . Así que su método consiste en derivar esta ecuación una vez con respecto a $x$ y considerar la $y$ una constante, entonces tenemos una ecuación que es $2ax + c = 0$ y derivar la misma ecuación con respecto a $y$ y considerando $x$ una constante y tener: $2by + d = 0$ y finalmente resolviendo estas dos ecuaciones tendrá el centro de la elipse. ¿Puedo tener una explicación de por qué usó este método? como qué tienen que ver las derivadas con la elipse, de dónde salió este método.

Perdón por los errores de inglés y por la palabrería, Gracias de antemano.

Answer 1

Considere el lado izquierdo de la fórmula de la elipse como función de dos parámetros, $$f(x,y) = ax^2 +by^2 + cx + dy + f.$$ A continuación, puede utilizar esta función para trazar una superficie en tres dimensiones coordenadas cartesianas utilizando la fórmula $z = f(x,y)$ .

Suponiendo que hayas empezado con la forma habitual de una ecuación de elipse (con $a > 0$ y $b > 0$ ), la superficie descrita por $z = f(x,y)$ es un superficie "en forma de cuenco". Asumiendo la ecuación original $f(x,y) = 0$ describe una elipse, el "tazón" interseca la $x,y$ plano, y el "fondo" del cuenco está directamente debajo del centro de la elipse.

Ahora, eligiendo cualquier valor constante de $y$ tomamos una sección transversal vertical del "cuenco" paralela a la $x,z$ plano. Esta sección transversal es una parábola. Como hemos orientado la elipse con sus ejes paralelos al $x$ y $y$ ejes (al no tener un $xy$ término), y como el cuenco tiene simetría de reflexión a través de los planos verticales a través de los ejes de la elipse, el fondo de la sección parabólica está en el eje de la elipse paralelo al $y$ -eje. Todos los $x$ coordenadas en este eje de la elipse, incluyendo la $x$ coordenadas del centro de la elipse, son las mismas, por lo que tomando cualquier sección transversal arbitraria y encontrando el fondo de la misma (poniendo a cero la derivada de la función parabólica) encontramos la $x$ coordenada del centro de la elipse. La sección transversal ni siquiera tiene que intersecar la elipse para para que esto funcione, porque el plano de simetría del cuenco sigue el eje de la elipse tanto como se quiera en cualquier dirección.

Un truco similar manteniendo el $x$ valor constante, tomando una sección transversal paralela a la $y,z$ plano, encuentra el $y$ coordenada del centro.

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De hecho, una pequeña extensión de este método funciona incluso para la ecuación de la elipse más general, $ax^2 +by^2 + gxy + cx + dy + f = 0,$ que puede describir una elipse en cualquier orientación, no sólo una con sus ejes paralelos a la $x$ y $y$ ejes. El procedimiento es sólo un poco más complicado, porque ahora el "fondo" de cada sección parabólica para una constante $y$ depende de el valor de $y$ pero el "fondo" de cada sección transversal se encuentra en una línea que pasa por los dos puntos de la elipse en el mínimo y el máximo $y$ valores. La derivada cuando mantenemos $y$ constante es la ecuación de esa línea. Del mismo modo, manteniendo $x$ constante y tomando la derivada con respecto a $y$ obtenemos la ecuación de una recta que pasa por los puntos de la elipse en el mínimo y el máximo $x$ valores. Por simetría, estas líneas se cruzan en el centro de la elipse. Así que para encontrar el centro, tomamos las ecuaciones de las dos líneas como un sistema de ecuaciones lineales simultáneas, y lo resolvemos.

Answer 2

La idea clave es que la derivada de una función es cero cuando está en su máximo o mínimo - por ejemplo, la parábola $x^2$ tiene la derivada cero exactamente cuando $x = 0$ que es el punto inferior de la parábola. La razón es que cuando una función alcanza su máximo o su mínimo, debe nivelarse (instantáneamente), sin subir ni bajar, lo que significa que tiene derivada cero en ese punto.

Tomar esas derivadas que describes, entonces, adquiere la $x$ y $y$ valores de los puntos de la elipse que son "planos"; esos son los "puntos finales" horizontales y verticales de la elipse, que son los puntos a lo largo de los ejes de la elipse.

Answer 3

La derivada con respecto a $x$ mientras sostiene $y$ constante le dará la ecuación cuya solución es la $x$ -coordinación del máximo/mínimo $y$ -valor de la elipse. Del mismo modo, la derivada con respecto a $y$ mientras sostiene $x$ constante le dará la ecuación cuya solución es la $y$ -coordinación del máximo/mínimo $x$ -de la elipse. Dado que la elipse tiene cierta simetría respecto a sus ejes, las coordenadas del $x$ y $y$ mínimos/máximos corresponderán al punto central en $(x,y)$ .