El beneficio del jugador 1 es $p(x,y)x-c(x)$ . Es decir, el precio que puede cobrar si el jugador 2 produce $y$ y produce $x$ veces la cantidad de $x$ que produce (son los ingresos) menos el coste de producción $x$ . Puedes definir el problema del jugador 2 de forma similar.
Como el jugador 2 mueve en segundo lugar, consideremos su subjuego después de que el jugador 1 haya elegido producir $x$ . Resuelve $$\max_y (17-x-y)y - (3y+1)$$ Esto tiene FOC $$17-x-2y-3=0$$ Así que $y=\frac{14-x}{2}$ .
El jugador 1 se anticipa y resuelve $$\max_x (17-x-\frac{14-x}{2})x-(x+2).$$ El FOC es $$17-x-7-1=0$$ Así que $x=9$ . El jugador 2 juega $y(x)=\max(\frac{14-x}{2},0)$ que en la trayectoria de equilibrio es $\frac{5}{2}$ .
Supongo que los costes que has anotado son los costes totales (es decir, $x+2$ es la cantidad que cuesta producir $x$ unidades del bien). Si, en cambio, fueran costes marginales, entonces $c(x)$ en la siguiente expresión debe ser $\int_0^x s+2 ds$ (y $c(y)$ se definiría de forma similar).
También estoy asumiendo que los costes de producción siguen la misma fórmula en $0$ si no lo hicieran, y el coste de producir 0 fuera 0, entonces la estrategia del jugador 2 sería $\frac{14-x}{2}$ mientras los beneficios sean positivos y 0 en caso contrario (en este caso, la empresa 2 no debería producir cuando a $x>12$ ). Es fácil comprobar que los beneficios del jugador 1 serían decrecientes si fijan $x>12$ y son inferiores a los beneficios que obtienen en $x=9$ en $12$ Por lo tanto, esto no es óptimo.
