En realidad no conozco muchos resultados sobre planos de orden 12 en la línea de lo que hicieron Lam et. al. (a continuación enumero los pocos que conozco). Parece que hay una plétora de artículos que prueban restricciones en el grupo de colineación de un hipotético plano de este tipo, pero no sé cómo se podría utilizar ninguno de ellos para resolver el problema de la existencia.
Además, soy bastante escéptico de que refutar la existencia de planos de orden 12 mediante una búsqueda informática ayude mucho a la teoría general. Aunque ciertamente sería bueno saberlo, y si se encontrara realmente un plano de orden 12, sería muy emocionante; pero es difícil obtener conocimientos profundos de estas búsquedas combinatorias de fuerza bruta.
Ampliar el enfoque de Lam et. al. a planos de orden 12 es, en principio, posible. Pero probablemente todavía no es factible con los ordenadores actuales, ya que el espacio de búsqueda es un lote mayor que para el orden 10. De todos modos, aquí hay algunas razones por las que pienso eso, y al mismo tiempo un esbozo de las cosas que habría que hacer. Pero mi creencia personal es que se necesitarán algunas ideas sustancialmente nuevas para avanzar en esto. Por otra parte, sólo si se intenta realmente hacerlo se puede estar seguro... :)
A partir de aquí, supondré que estáis familiarizados con el "La búsqueda de un plano proyectivo finito de orden 10" y la notación utilizada en ella.
Un punto crucial fue la reducción de la (no) existencia al valor de ciertos coeficientes del enumerador de pesos $w_0$ à $w_{n^2+n+1}$ (se puede encontrar una buena exposición en "Sobre la existencia de un plano proyectivo de orden 10" de MacWilliams, Sloane y Thompson). Pero el verdadero avance fue cuando Assmus y Mattson demostraron que sólo hay que saber $w_{12},w_{15},w_{16}$ para determinar todos los demás. Me referiré a ellos como esencial coeficientes del enumerador de pesos.
Algunos pasos en este sentido para la orden 12 se han ejecutado en "Códigos ternarios y binarios para un plano de orden $12$ " por Hall y Wilkinson. Sin embargo, muchas propiedades y teoremas agradables serán difíciles de recuperar para el orden 12. Por ejemplo, para órdenes de la forma $8m+2$ , se conoce el $\mathbb{F}_2$ -de la matriz de incidencia. No es así para el orden 12, donde trabajar con un código ternario es en cierto modo más "natural". En particular, el $\mathbb{F}_3$ -El rango de la matriz de incidencia es conocido, pero, por desgracia, trabajar con un código ternario significa perder la identificación natural de las palabras de código con los conjuntos de puntos, por lo que se necesitarían toneladas de maquinaria nueva para explotar el código ternario. Así que me centraré aquí en el caso del código binario.
De todos modos, supongamos que hemos reducido al máximo el número de coeficientes enumeradores de pesos esenciales (Hall y Wilkinson lo redujeron a 16; recordemos que para $n=10$ sólo teníamos 3). Debemos calcular los coeficientes esenciales.
Según Lam, para $n=10$ y el caso $w_{12}$ , estimaron, mediante un método de Monte-Carlo (antes de hacerlo) que $4\times 10^{11}$ había que comprobar la configuración. No tengo un buen medio para calcular una buena estimación para $n=12$ pero para ello hay que determinar 16 coeficientes, y me atrevería a decir que algunos de ellos son mucho, mucho más difíciles que los tres casos de $n=10$ juntos. Varios órdenes de magnitud. Sin embargo, esto es sólo una intuición.
Supongamos que de alguna manera hemos conseguido superar esto y hemos calculado todos los coeficientes esenciales del enumerador de pesos. Entonces tendríamos a mano el enumerador de pesos completo (y no surgiría ningún plano proyectivo como subproducto de nuestra búsqueda). Ahora empieza la parte difícil (que corresponde aproximadamente a la segunda mitad del artículo de Lam), la que les llevó 2 años para $n=10$ : Tenemos que derivar de alguna manera una contradicción (o construir un plano). Hay que hacer mucho trabajo de base (extender cosas de $n=10$ ), antes de empezar a escribir el código...
Ah, bueno. Para cualquiera que quiera probar esta estrategia en $n=12$ recomendaría que primero se intentara reproducir el $n=10$ con los ordenadores modernos debería ser posible hacerlo mucho, mucho más rápido de lo que tardaron Lam et. al. originalmente (esta verificación ya podría interesar a algunas personas por sí sola). En realidad, al principio, inténtelo con ejemplos aún más pequeños ( $n=6,8$ ), entonces sube.
