Para demostrar el resultado, bastará con mostrar que si $F$ contiene alguna línea $~L_0$ a través del origen (en otras palabras, si $F\neq\{0\}$ ) entonces $F$ contiene todas las líneas que pasan por el origen (en otras palabras, si $F=E$ ). Sea $L_1$ sea una línea arbitraria que pasa por el origen; hay que encontrar de $g\in SO(E)$ tal que $g(L_0)=L_1$ entonces la propiedad de ser $SO(E)$ -Estable forzará $F$ para contener $L_1$ porque contiene $L_0$ .
Tu idea de utilizar los reflejos funciona. Después de elegir los vectores unitarios de extensión $v_0,v_1$ de $L_0,L_1$ respectivamente (y suponiendo que $v_0\neq v_1$ ) se puede aplicar la reflexión ortogonal en el hiperplano ortogonal a $v_1-v_0$ para enviar $v_0$ à $v_1$ y por lo tanto $L_0$ à $L_1$ . El reflejo está en $O(E)$ pero no en $SO(E)$ pero esto se puede remediar componiendo con la reflexión ortogonal en el hiperplano ortogonal a $v_1$ , que fija $L_1$ . La composición de ambos reflejos es su $g$ .
Otro enfoque consiste en utilizar bases ortonormales, y en particular el hecho de que para una línea dada siempre se puede elegir una base ortonormal que comience con un vector de esta línea. Después de elegir una base ortonormal ordenada de referencia $\def\B{\mathcal B}~\B$ los elementos $g\in SO(E)$ están en biyección el conjunto de bases ortonormales ordenadas de $~E$ con la misma orientación que $~\B$ la biyección es simplemente tomar la imagen de $~\B$ en $~g$ . Ahora elija $\B$ para empezar con un vector de $~L_0$ y elegir otra base ortonormal para empezar con un vector de $~L_1$ ; se puede arreglar (volteando un signo en la última base si es necesario) que las dos bases tengan la misma orientación. El único $g\in SO(E)$ enviando $~\B$ a la segunda base tendrá $g(L_0)=L_1$ .
