Esta pregunta fue motivada por los comentarios a ¿Doble del Lemma de Zorn?
Denotemos por el teorema dual de Schroeder-Bernstein (DSB) la afirmación
Para cualquier conjunto $A$ et $B$ si hay proyecciones desde $A$ en $B$ y de $B$ en $A$ entonces hay una biyección entre ellos.
En la teoría de conjuntos sin elección, se supone que se cumple el teorema dual de Schroeder-Bernstein. ¿Se deduce que la elección también debe ser válida?
Tengo la firme sospecha de que esto está abierto, aunque me alegraría que se demostrara que estoy equivocado en este sentido. En todos los modelos de ZF sin elección que he examinado, el DSB falla. Esto realmente no dice mucho, ya que hay muchos modelos que no he examinado. En cualquier caso, no veo cómo formular siquiera una aproximación para mostrar la consistencia de la DSB sin CA.
La única referencia que conozco para esto es Bernhard Banaschewski, Gregory H. Moore, El teorema dual de Cantor-Bernstein y el principio de partición , Notre Dame J. Formal Logic 31 (3) , (1990), 375-381. En este trabajo se demuestra que un refuerzo de DSB sí implica AC, a saber, que siempre que haya suryectos $f:A\to B$ et $g:B\to A$ entonces existe una biyección $h:A\to B$ contenida en $f\cup g^{-1}$ . (Obsérvese que el teorema habitual de Schroeder-Bernstein se cumple -sin necesidad de elección- de esta manera).
El principio de partición es la afirmación de que siempre que exista una suryección desde $A$ en $B$ entonces hay una inyección de $B$ en $A$ . Por lo que sé, no está claro si esto implica una elección, o si DSB implica el principio de partición. Está claro que las implicaciones son las contrarias.
Si le interesan los ejemplos naturales de fallos de DSB en algunos de los modelos habituales, Benjamin Miller escribió una bonita nota al respecto, disponible en su página .
Añadido el 21 de septiembre. [Editado el 14 de agosto de 2012] Tal vez valga la pena señalar lo que se sabe, más allá del resultado de Banaschewski-Moore mencionado anteriormente.
Supongamos que se trata de DSB, y supongamos que $x$ es equipotente con $x\sqcup x$ . Entonces, si existe una suryección desde $x$ en un conjunto $y$ También tenemos una inyección de $y$ en $x$ . (Así que tenemos una versión débil del principio de partición.) Esto idemhipótesis múltiple que $x\sqcup x$ es equipotente a $x$ para todos los conjuntos infinitos $x$ es estrictamente más débil que la elección, como se muestra en Gershon Sageev, Un resultado de independencia sobre el axioma de elección , Ann. Math. Logic 8 (1975), 1-184, MR0366668 (51 #2915).
Además, como se indica en la respuesta de Arturo Magidin (y en los enlaces de los comentarios), H. Rubin demostró que la DSB implica que cualquier conjunto infinito contiene un subconjunto contable.
