Cálculo de productos de copa mediante cohomología celular

Question

La mayoría de los libros de topología algebraica (por ejemplo, Hatcher) contienen una receta para calcular los productos de copa en homología singular o simplicial. En otras palabras, dados dos cociclos singulares o simpliciales explícitos, contienen una receta para calcular un cociclo explícito que represente el producto de copa de los cociclos en cuestión.

¿Existe una receta similar en la cohomología celular? En otras palabras, si tengo un complejo CW muy explícito y dos cohomologías celulares explícitas, ¿existe una receta para calcular una cohomología celular que represente su producto de copa?

Por supuesto, una respuesta es subdividir todo en un complejo simplicial, pero eso es complicado (y no siempre posible). ¿Existe una forma mejor?

Estoy especialmente interesado en el caso especial de los complejos CW bidimensionales, donde los únicos productos de copa interesantes son entre elementos de $H^1$ .

Answer 1

Productos para tazas $\cup: H^1(X,\mathbb{Z})\times H^1(X,\mathbb{Z}) \to H^2(X,\mathbb{Z})$ son fáciles de visualizar. Dado un 2-complejo celular $X$ el esqueleto 1 de $X$ es un gráfico $\Gamma$ y el 2-esqueleto es una colección de discos con límites unidos al gráfico $\Gamma$ que (hasta la homotopía) están codificados por caminos cerrados en $\Gamma$ . Los 1 ciclos $\alpha_1,\alpha_2 \in H^1(X,\mathbb{Z})$ se codifican mediante mapas $\alpha_i: X\to S^1=K(\mathbb{Z},1)$ y el ciclo 2 $\alpha_1\cup\alpha_2$ está representado por el mapa $(\alpha_1\times\alpha_2)^{\ast}: H^2(S^1\times S^1)\to H^2(X)$ . Elija la estructura de celdas estándar en $S^1 =c_0\cup c_1$ . Subdividir $\Gamma$ poniendo un vértice en el centro de cada arista $e\subset \Gamma$ en intervalos $e_1\cup e_2$ . Entonces, hasta la homotopía, podemos suponer que $\alpha_i$ envía $e_i$ à $c_0$ (y se extiende sobre las 2 celdas de cualquier manera). Entonces $$\alpha_1\times \alpha_2: \Gamma \to (c_0\times c_1\cup c_1\times c_0)= S^1 \vee S^1\subset S^1\times S^1,$$ de tal manera que cada arista $e_1$ se envía a una arista horizontal, y cada arista $e_2$ se envía a un borde vertical. Para calcular el grado de este mapa, para cada celda de 2 $f\subset X$ , levantamos $\alpha_1\times \alpha_2:\partial f\to \mathbb{R}^2$ la cubierta universal de $S^1\times S^1$ . A continuación, calculamos el número de bobinado de la trayectoria representada por $f$ con respecto a los puntos medios de la red $(\widetilde{S^1\vee S^1} \subset \mathbb{R}^2$ dando $\alpha_1\cup\alpha_2(f)$ . Por ejemplo, el camino cerrado en esta imagen tiene el número de bobinado 7.

(fuente: Wayback Machine)

Answer 2

Es fácil calcular el producto cruzado (es decir, el mapa de Kunneth) $H^*X\otimes H^*Y\to H^*(X\times Y)$ en homología celular, mediante el isomorfismo $C_*X\otimes C_*Y\approx C_*(X\times Y)$ de complejos de cadenas celulares.

El obstáculo para obtener una fórmula para el producto taza es el hecho de que la incrustación diagonal $d:X\to X\times X$ no es un mapa celular. El teorema de aproximación celular dice que $d$ es homotópico a algún mapa celular $f:X\to X\times X$ por lo que el producto de la copa en las co-cadenas celulares viene dado por $C^*(X)\otimes C^*(X)\approx C^*(X\times X) \xrightarrow{f^\#} C^*(X)$ .

No conozco ninguna "fórmula" general para encontrar $f$ (habría que construirlo inductivamente, una dimensión cada vez). Pero con sólo 2 dimensiones, esto no debería ser en absoluto malo (en cualquier caso, el cálculo del producto taza $H^1\times H^1\to H^2$ depende principalmente del grupo fundamental de $X$ ya que el mapa $X\to K(\pi_1X,1)$ induciendo un isomorfismo en $\pi_1$ también induce un isomorfismo en $H^1$ , .)

Answer 3

Los productos de copa en un complejo CW bidimensional con una sola celda 0 deberían poder calcularse directamente a partir de las definiciones, una vez que se sabe cómo se unen las celdas 2 a las 1. Hay una discusión sobre esto en el primer capítulo del libro de Roger Fenn "Techniques of Geometric Topology" (Cambridge, 1983). También hay algunos ejemplos elaborados en mi libro de topología algebraica cerca del comienzo de la sección 3.2, donde la idea es subdividir para obtener un complejo Delta (generalización suave de un complejo simplicial) añadiendo un nuevo vértice en el centro de cada 2-célula, y entonces uno puede utilizar el producto de copa simplicial. La discusión en el libro de Fenn es más general que esto, pero no trabaja en detalle el caso más general.

Answer 4

Una receta se da en el artículo de Whitney de 1937 "On Products in a Complex" (Annals of Mathematics, vol. 39, no 2). Se puede encontrar una copia ici .

En la sección 12 da una construcción muy explícita del producto de tapones para complejos regulares de baja dimensión, de la que se deduce inmediatamente el producto de copas (a través de la Ecuación 5.3 del mismo documento).

Answer 5

En realidad hemos encontrado fórmulas explícitas del producto de cuña en complejos CW regulares bidimensionales, cuyas 2-células son polígonos cualesquiera, consulte mi tesis (L. Ptackova: A Discrete Wedge Product on Polygonal Pseudomanifolds) o esto papel . Nuestro objetivo ha sido crear un cálculo exterior discreto sobre mallas poligonales generales que empleamos para tareas de procesamiento de geometría. Pero últimamente he estado investigando si podemos aplicar nuestro producto copa con resultados interesantes en topología computacional. Así que ahora estoy buscando aplicaciones de los productos de copa en complejos finitos CW 2 regulares. Así que voy a comprobar cómo funcionaría la tarea de computar cocíclos, gracias.