Calcula la longitud de la curva en métrica hiperbólica.

Question

Calcular la longitud de la curva $c:[0,\pi]\rightarrow \mathbb{H}^2$ , $\displaystyle c(t)=\frac{\sin t+ia\cos t}{\cos t-ia\sin t}$ para $a>1$ en la métrica hiperbólica.

Sé que la longitud hiberbólica= $\displaystyle\int_0^\pi\frac{|c'(t)|}{Im c(t)}dt$ pero aquí ese cálculo para $|c'(t)|$ es muy largo y no parece que se simplifique a una fórmula corta. ¿Existe una forma fácil de calcularlo, en lugar de diferenciarlo directamente?

Answer 1

Mi instinto original estaba totalmente equivocado. Esta es una ecuación paramétrica para un círculo de radio $\frac12(a-\frac 1a)$ centrado en $\frac12(a+\frac1a)i$ . Habiendo encontrado que por inspiración divina, se puede reparametrizar de la forma habitual que se hace un círculo y entonces la integral no es mala: Si se tiene $w=(R\cos\theta)+i(c+R\sin\theta)$ , $0\le\theta\le 2\pi$ entonces se obtiene una longitud hiperbólica de $\dfrac{2\pi R}{\sqrt{c^2-R^2}}$ . (Esta integral es una norma con el teorema del residuo.) Por cierto, esta circunferencia euclidiana es también una circunferencia hiperbólica - con centro en $i$ .

Aquí está el álgebra interesante. Si consideramos $z=\cos t+ia\sin t$ entonces la semielipse superior dada por $0\le t\le\pi$ mapea biyectivamente al círculo unitario mediante el mapa $w=\dfrac z{\bar z} = \left(\dfrac z{|z|}\right)^2$ . [Así que hay implícitamente una magia de doble ángulo en este problema]. $$\frac{\sin t+ia\cos t}{\cos t-ia\sin t} - i\frac{a+\frac1a}2 = i\frac{a-\frac1a}2\frac{\cos t+ia\sin t}{\cos t-ia\sin t},$$ por lo que vemos que $$\left|\frac{\sin t+ia\cos t}{\cos t-ia\sin t} - i\frac{a+\frac1a}2\right| = \frac{a-\frac1a}2,$$ mostrando que la imagen está contenida en el círculo prometido. Por otra parte, debido a la observación anterior, obtenemos precisamente el círculo completo.

En retrospectiva, si volvemos a la parametrización original, si multiplicamos y dividimos por el conjugado del denominador, vemos de hecho ángulos dobles que saltan a la vista: \begin{align*} \frac{\sin t+ia\cos t}{\cos t-ia\sin t} &= \frac{(\sin t+ia\cos t)(\cos t+ia\sin t)}{\cos^2 t+a^2\sin^2 t} = \frac{(1-a^2)\sin t\cos t + ia}{\cos^2 t+a^2\sin^2 t}\\ &= \frac{\frac{1-a^2}2\sin 2t + ia}{\frac{1-a^2}2\cos 2t+\frac{a^2+1}2}= \frac{i-\frac{a-\frac 1a}2\sin 2t}{\frac{a+\frac 1a}2-\frac{a-\frac 1a}2\cos 2t}. \end{align*} Hmm... Esto parece sospechoso. Configurando $2t=u$ tenemos $w=\dfrac{i-R\sin u}{c-R\cos u}$ con $c=\frac{a+\frac 1a}2$ , $R=\frac{a-\frac 1a}2$ , y ahora lo de siempre $0\le u\le 2\pi$ . Te dejo que sigas con este enfoque.