\Elegir $f$ tal que $X(f)$ desaparece en la submanifold más pequeña posible, para $X$ un campo vectorial que no desaparece en ninguna parte.

Question

Digamos que tengo un colector, $M$ con un campo vectorial que no desaparece en ninguna parte $X$ . Deseo encontrar un $f$ tal que $X(f)=g\in C^{\infty}(M)$ desaparece en el conjunto "más pequeño" posible de $M$ . Si los ceros de $g$ son transversales a $0 \in \mathbb{R}$ entonces $\{x\in M| X(f)(x)=0\}$ debe ser un $n-1$ colector dimensional de $M$ . ¿Supongo que esto es lo mejor que puedo hacer? ¿Puedo hacer esto siempre?

Edición: Debo señalar que me interesa el caso de que $M$ es compacto.

Answer 1

Cuando $X = \nabla f$ entonces $X(f) = 0$ precisamente en el punto crítico de $f$ , es decir, donde $df$ es cero. Esto ocurrirá genéricamente en un conjunto discreto (en el caso genérico f se llama función de Morse). De forma más general, se puede consultar la definición de los campos vectoriales de tipo gradiente.