para la permutación cíclica $g=(i_1i_2\cdots i_p)$ , demuestre que $\operatorname{sign}(g)=(-1)^{(p-1)}$

Question

Estoy leyendo "A course in algebra" de E. B. Vinberg para tener una comprensión básica.

Ahora me encontré con un problema en el Ejercicio 4.99: Deduzca la siguiente fórmula para el signo de una permutación cíclica: $$\operatorname{sign}(i_1i_2\cdots i_p) = (-1)^{p-1}$$

Estoy un poco perdido aquí... ¿cómo probarlo? En realidad en el primer paso no estoy seguro de cómo definir una permutación cíclica. debería definirse que ${1,2,\cdots,p}$ forma un grupo cíclico, generado por $k$ , de tal manera que $i_j = j\circ k$ ?

Answer 1

Una pista:

$$(i_1\,i_2\,\ldots\,i_p)=(i_1\;i_2)(i_2\;i_3)\cdot\ldots\cdot(i_{p-1}\,i_p)$$

(Aquí, la operación es la composición de la función: de derecha a izquierda)