Probabilidad de que una forma cuadrática binaria represente un número aleatorio: ¿es cero?

Question

Dejemos que $q(x_1,x_2):=ax_1^2+bx_1x_2+cx_2^2$ sea una forma cuadrática positiva-definida con $a,b,c\in\Bbb{Z}$ .

Dejemos que $r_q(n)$ sea el número de números naturales $k\leq n$ que están representados por $q$ es decir, tal que $q(x_1,x_2)=k$ para algunos $x_1,x_2\in\Bbb{Z}$ .

¿Es necesariamente cierto que la probabilidad de que un número aleatorio sea representable por $q$ es cero, en el sentido de que $\lim_{n\to\infty}\frac{r_q(n)}{n}=0$ ?

En el bonito ejemplo $q(x_1,x_2)=x_1^2+x_2^2$ tenemos que $r_q(n)$ es proporcional a $\frac{n}{\sqrt{\log n}}$ (según este artículo), por lo que $\frac{r_q(n)}{n}$ es proporcional a $\frac{1}{\sqrt{\log n}}$ que tiende a cero.

Ejemplos más desagradables como $q(x_1,x_2)=3x_1+7x_2^2-x_1x_2$ parecen ser mucho más restrictivas en cuanto a las posibles representaciones, por lo que parece que la conjetura debería ser cierta.

Dado que las formas cuadráticas se estudian intensamente desde Gauss (al menos), imagino que debe ser algo conocido.

Answer 1

$$a\, q(x,y) = 4 a^2 (2x-(-b+\sqrt{b^2-4ac})y)(2x-(-b-\sqrt{b^2-4ac})y) $$

• Si $b^2-4ac$ no es un cuadrado, entonces $q(x,y)$ será una norma en $\Bbb{Q}(\sqrt{b^2-4ac})$ donde la mitad de los primos no están divididos por lo que las normas enteras tienen densidad $0$ (y asintótica $r \frac{n}{\sqrt{\log n}}$ ).

• Si $b^2-4ac$ es un cuadrado, entonces $a q(x,y)$ es equivalente

  • ya sea para $x^2-y^2$ si $b^2-4ac\ne 0$ (que tiene densidad $1/2$ pero no es positivo-definido)

  • o $(x+y)^2$ si $b^2-4ac=0$ que tiene una densidad $0$ (y asintótica $\sqrt{n}$ ) y sólo es semipositiva-definida.