Pregunta sobre la conexión $T_{3}$ espacio

Question

Sé que una conexión $T_{3}$ El espacio con más de un punto es necesariamente incontable. La prueba que conozco utiliza el hecho de que a $T_{3}$ espacio es en particular un $T_{1}$ espacio. Me pregunto si la afirmación sigue siendo cierta si sólo se exige que el espacio sea regular pero no necesariamente que lo sea $T_{1}$ .

Gracias de antemano.

Answer 1

La topología indiscreta (= trivial) es el único contraejemplo.

Dejemos que $X$ sea un espacio regular conectado, y supongamos que $X$ es contable. Entonces $X$ es Lindelöf, y un espacio regular de Lindelöf es normal (aunque no necesariamente $T_1$ ). Si $X$ contiene dos conjuntos cerrados no vacíos y disjuntos, el lema de Uryson asegura la existencia de una suryección continua $f:X\to[0,1]$ , demostrando que $|X|\ge 2^\omega$ . Así, $X$ no puede contener un par de conjuntos cerrados no vacíos.

Supongamos que $x\in X\setminus F$ , donde $F$ es un conjunto cerrado no vacío; por regularidad $x$ tiene un nbhd abierto $U$ tal que $x\in U\subseteq\operatorname{cl}U\subseteq X\setminus F$ . Pero entonces $\operatorname{cl}U$ y $F$ son conjuntos cerrados no vacíos y disjuntos, lo cual es imposible. Se deduce que ningún subconjunto propio no vacío de $X$ es cerrado y, por tanto, ningún subconjunto propio no vacío de $X$ está abierto. Así, $X$ debe tener la topología indiscreta.